Sto studiando algebra omologica e sono all'inizio.
Il libro che sto leggendo, seguendo una prassi abbastanza comune, cita l'embedding di Freyd-Mitchell e poi fondamentalmente sviluppa tutto come se fossimo sempre in qualche categoria di moduli.
D'altra parte su math(stackexchange/Overflow) ho trovato varie discussioni (posso anche linkarle) in cui pareri più o meno autorevoli sminuiscono l'importanza (pratica) dell'embedding, facendo intuire che si può (e sarebbe meglio!) fare tutto senza elementi. Che si possa fare tutto anche senza elementi, cioè che esista sempre anche una dimostrazione che non li usa, viene spesso sottolineato anche nei testi che usano Frey-Mitchell senza farsi problemi.
Io studiando, non tanto convinto da queste argomentazioni ma solo perchè mi fa meno fatica, cerco sempre una dimostrazione senza diagram chasing, che usi solo freccette e non elementi, ma non sempre riesco.
Analizzando le situazioni in cui non riesco mi accorgo che spesso si tratta di casi in cui se mi trovassi in R-Mod lifterei un elemento lungo una suriezione . Questa cosa in una categoria abeliana non concreta mi sembra si possa fare con abbastanza oggetti proiettivi. Ma embeddare la categoria (o anche solo il diagramma) in una qualche categoria con abbastanza proiettivi mi sembra poco meno che usare direttamente Freyd-Mitchell, se non la stessa cosa.
Altro caso: mostrare che due morfismi sono uguali (e qui viene in mente https://ncatlab.org/nlab/show/separator , ma non è detto che ci siano in ogni categoria abeliana, e in più non risolvono sempre il problema).
Per esempio conosco una facile dimostrazione di snake lemma che non fa uso di diagram chasing, tuttavia in casi in cui devo dimostrare che un certo morfismo prescritto è in realtà il connecting morfism che uscirebbe fuori da snake lemma mi tocca sempre usare la dimostrazione che usa gli elementi per andare a vedere come il morfismo è definito.
Non so se mi sono spiegato bene, comunque le mie domande sono più o meno due:
-Come mai la gente dice che Freyd-Mitchell non serve a nulla? E' una mia incapacità non riuscire a farne sempre a meno? Ha davvero senso sforzarsi di farne a meno se è più difficile?
- Il Leitmotiv che dice "qualunque cosa valga in una qualsiasi categoria abeliana può essere dimostrato senza gli elementi", che sembra quasi una specie di teorema di completezza, ha un fondamento tecnico?
In altre parole: usare Freyd-Mitchell rende alcune cose facili, rende alcune cose possibili, o nessuna delle due?
PS: so che c'è una via di mezzo https://ncatlab.org/nlab/show/element+i ... n+category , ma spesso non risolve.
Quando ho le idee in testa un po' più chiare posto la domanda su mathstackexchange, per ora scrivo qua questo flusso di coscienza.