Soluzioni di polinomi a coefficienti nell'anello degli interi p-adici

[robbis]

Ciao! Mi sono imbattuta in una proprietà del libro di Serre, "A course in arithmetic". La proprietà è la seguente:
Siano $f^{(i)} \in \mathbb{Z}_p[X_1,...X_m]$ polinomi a coefficienti interi p-adici. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1)Gli $f^{(i)}$ hanno uno zero comune in $(\mathbb{Z}_p)^m$.
2) Per ogni $n > 1$ i polinomi $f_n^{(i)}$ hanno uno zero comune in $(A_n)^m$.

Con tale notazione si intende $A_n=\mathbb{Z}/{p^n\mathbb{Z}}$ e $f_n$ il polinomio $f$ ridotto $mod p^n$.
Di conseguenza l'anello degli interi p-adici $\mathbb{Z}_p$ viene definito come limite inverso o proiettivo degli $A_n$.

La dimostrazione fornita dal libro sfrutta un lemma precedentemente enunciato, che riporto di seguito:
Sia $... --> D_n --> D_{n-1} --> ... --> D_1$ un sistema proiettivo con $D=lim D_n$ limite proiettivo. Se i $D_n$ sono finiti e non vuoti, allora $D$ è non vuoto.

La dimostrazione della proprietà sfrutta questo lemma definendo $D$ insieme degli zeri comuni dei polinomi $f^{(i)}$ e $D_n$ insieme degli zeri comuni dei polinomi $f_n^{(i)}$. Quindi afferma che $D=limD_n$ e applica il lemma.
Ora, immagino che per giustificare tale passaggio io debba dimostrare che una soluzione degli $f_i$ è tale per cui le sue componenti (appartenenti ai vari $D_n$) sono soluzioni degli $f_i$ ridotti $mod p^n$. Detto ciò non sono certa di come realizzarlo nella pratica, nè se sia la strada giusta, e se sia sufficiente.

Se qualcuno avesse un suggerimento sarebbe ben accetto!