Come si arriva al porre un elemento dell’anello dei polinomi come scrittura ‘polinomiale’
Solo questo é il mio cruccio
Dato un linguaggio (algebrico, i.e. senza predicati) $tau$ , e un insieme di variabili $V$, costruisci induttivamente la cosiddetta algebra dei termini, chiamala Term($V$, $tau$), come l'insieme di tutte le espressioni costruibili a partire dalle variabili utilizzando le operazioni in $tau$. Ora, questo insieme ha la proprietà universale per cui per ogni funzione dall'insieme di variabili $V$ a un insieme $A$ in cui sia interpretabile il linguaggio $tau$, esiste unico un morfismo di $tau$-strutture da Term($V$, $tau$) ad $A$ che in parole povere non fa altro che interpretare i termini del linguaggio negli elementi di $A$ nel modo prescritto dalla funzione da $V$ ad $A$. Se ti restringi a una sottoclasse delle $tau$-strutture data da tutti i modelli di una teoria esprimibile nel linguaggio $tau$, la proprietà universale di cui sopra sarà soddisfatta da un opportuno quoziente di Term($V$, $tau$), per la congurenza che identifica esattamente ciò che deve essere identificato affinchè il quoziente soddisfi gli assiomi della teoria (la congruenza è una certa insersezione di nuclei di morfismi)
Ora prendi $V= x $, cioè una sola variabile, e $tau$ = linguaggio degli anelli comm unitari, l'algebra dei termini sarà l'insieme di tutte le espressioni costruibili usando somma prodotto zero uno e la $x$, e il suo quoziente sarà esattamente l'anello di tutte le espressioni polinomiali nella variabile $x$ a coefficienti interi.
A questo punto è chiaro che ogni altro anello che soddisfa la stessa prop. universale è isomorfo a questo quoziente che ho descritto, e quindi i suoi elementi li puoi rappresentare in quel modo.
