kekkomengoli95 ha scritto:Se posso chiedere ancora Martino, relativamente a quella parte che ti ho indicato, ovvero quando suppone che $H<\Phi G$:
in questo caso $H$ non è banale quindi non lo è neanche $\Phi G$. Per induzione allora $G/(\Phi G)$ è supersolubile, e dalla teoria sappiamo che per il sottogruppo di Frattini vale $F(G/(\Phi G))=(F(G))/(\Phi(G))$. Allora $ F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo (poichè da questa uguaglianza questo non è altro che il quoziente del Fitting di G che è un p-gruppo?.
Ha dimostrato sopra che il Fitting di $G$ è un $p$-gruppo, quindi ogni suo quoziente è un $p$-gruppo.
Inoltre $(G/(\Phi G))/(F(G/(\Phi G)))$ è abeliano ho trovato un riferimento che dice che un gruppo supersolubile ha fitting nilpotente e in particolare $G/F(G)$ è un gruppo abeliano finito.
L'ha dimostrato in 1.10(a).
Qui ho un dubbio: dice "Poichè $F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo, ogni fattore principale di $G/(\Phi G)$ coprimo con p è centralizzato da $G/(\Phi G)$" e capirei perchè in pratica è nilpotente e quindi ha fattori centrali ma perchè coprimi con p?
Perché un fattore coprimo con $p$ è un fattore di \( \displaystyle G/F(G) \) che è abeliano quindi è centralizzato da $G//F(G)$, d'altra parte $F(G)$ sta nel nucleo dell'azione su ognuno di questi fattori principali perché li puoi scegliere in una serie principale che passa per $F(G)$. In altre parole $F(G)$ sta nel nucleo dell'azione di coniugio di $G$ su tutti i fattori principali "sopra" $F(G)$.
inoltre "Questo, insieme al fatto che per ogni gruppo finito $G$ il sottogruppo di Fitting $F(G)$ è uguale a $\cap\{C_G(H/K):H/K$ è un fattore principale di G$\}$, assicura che $F(G/\Phi G)$ è l'intersezione dei centralizzatori in $G/\Phi G$ dei fattori principali di $G/\Phi G$ il cui ordine è $p$." posso capire perchè applica questo fatto considerando i fattori principali ma perchè "il cui ordine è $p$"?.
Perché intersecare con gli altri centralizzanti non produrrebbe niente dato che sono uguali a $G//\Phi G$.
Provo a risponderti più tardi sul resto, comunque mi sembra che devi solo riorganizzare il materiale per chiarirti le idee.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.