Sottogruppo generato, chiusura normale, un determinato prodotto tra i sottogruppi in gioco

[ti2012]

Salve a tutti. Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto: Dato un gruppo G, dati H e K sottogruppi di G, siano $H_1$, $H_2$,..., $H_n$ i coniugati di H in K e sia N la chiusura normale di H in $<<H, K>>$. Allora (per un certo teorema) N si può scrivere come prodotto degli $H_1$, $H_2$,..., $H_n$, ossia N = $H_1$$H_2$...$H_n$. Risulta che $<<H, K>>$ = NK. Perchè si ha quest'ultima disuguaglianza? Io ho riflettuto sulla definizione di sottogruppo generato $<<H, K>>$ e sul prodotto NK e a come sono i loro elementi..ma non so se è giusto o sbagliato . Tanto gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie mille di cuore

[j18eos]

Sono un po' arrugginito: che intendi per coniugati di \(H\) in \(K\)?

La trovo ambigua come affermazione!

[ti2012]

Intendo che l'insieme dei coniugati di H in K è l'insieme {$x^(-1)$$Hx$ / $x$ $in$ $K$}

[j18eos]

Ripetendo che sono arrugginito, io avrei scritto "i coniugati di \(\displaystyle H\) mediante (gli elementi) di \(\displaystyle K\)"; ma non è questo il punto focale del discorso. Può essere che vada bene com'è stato scritto, ma non fa nulla...

Io ragionerei per doppia inclusione; ovvero: sappiamo che \(\displaystyle N\supseteq H_1H_2\dots H_n\); come proveresti a dimostrare l'altra implicazione?

[ti2012]

Sì, infatti, anch'io avrei utilizzato tale scrittura , solo che sul materiale di studio vi era scritto "coniugati di H in K" e mi sono attenuta ad esso.. Non saprei

[j18eos]

Il testo parla di un certo teorema: riesci a capire perché le ipotesi di codesto teorema sono soddisfatte?

[Martino]

Un elemento di \( \displaystyle \langle H,K \rangle \) ha la forma $x = h_1 k_1 ... h_t k_t$ con $h_i in H$ e $k_i in K$ per ogni $i$.

Ora prova a scrivere $k_1 h_2 k_2 = k_1 h_2 k_1^{-1} k_1 k_2$ e analogamente per gli altri.

Otterrai un prodotto di elementi che stanno in coniugati di $H$ e alla fine cosa rimane?

Se ti aiuta prova prima per esempio nel caso $t=4$.

[ti2012]

Supposto t = 4, si ha $x$ = $h_1k_1h_2k_1^(-1)k_1k_2h_3k_2^(-1)k_2k_3h_4k_3^(-1)k_3k_4$... A tal punto vedo $k_1h_2k_1^(-1)$ come coniugato di $h_2$ mediante $k_1$, $k_2h_3k_2^(-1)$ come coniugato di $h_3$ mediante $k_2$, $k_3h_4k_3^(-1)$ come coniugato di $h_4$ mediante $k_3$ ? E poi?
Grazie mille

[Martino]

Ecco quello che voglio dire:

\( \displaystyle h_1k_1 h_2k_2 h_3k_3 h_4k_4 \)

\( \displaystyle = h_1 \cdot k_1 h_2 k_1^{-1} \cdot k_1k_2 h_3 (k_1k_2)^{-1} \cdot k_1k_2k_3 h_4 (k_1k_2k_3)^{-1} \cdot k_1k_2k_3k_4 \)

come vedi e' un prodotto di coniugati di elementi di H (tramite elementi di K) moltiplicato alla fine per \( \displaystyle k_1k_2k_3k_4 \) che e' un elemento di K. Questo lo puoi fare per qualsiasi t (non solo per t=4) ed e' esattamente quello che vuoi.

[ti2012]

Perfetto . Chiedo scusa, avendo studiato che per definizione il coniugato di un elemento $h$ di H tramite un elemento $k$ di K è del tipo $k^(-1)hk$, il coniugato di un elemento $h$ di H tramite un elemento $x$ di K può essere anche del tipo $xhx^(-1)$ in vedendo la $x$ come l'inverso di un certo elemento $k$ di K?
Grazie mille