Classificazione gruppi ordine 300

[nick_10]

Ciao a tutti! Sono alle prese con la classificazione dei gruppi di un dato ordine. In particolare stavo vedendo questo esercizio:
Classificare i gruppi di ordine 300 che contengono un sottogruppo di ordine 12, un elemento di ordine 4 e uno di ordine 25.
Dopo aver studiato un po' il gruppo con le ipotesi date e i teoremi di Sylow arrivo al punto che il gruppo $G$ si scrive come prodotto semidiretto $G~=S rtimes H$ dove $S$ è il suo unico 5-Sylow, quindi $G~=ZZ_25 rtimes_(f) (ZZ_3 rtimes_g ZZ_4)$. Se non vado errato, la mappa $g: ZZ_4 to Aut(ZZ_3)$ può essere banale o mandare un generatore $c$ nell'automorfismo che scambia 1 e -1 in $ZZ_3$, e la mappa $f:(ZZ_3 rtimes_g ZZ_4) to Aut(ZZ_25)~=ZZ_20$ ha diciamo "parte banale" relativa a $ZZ_3$, dunque $G~=ZZ_75 rtimes_(h) ZZ_4$, con $h: ZZ_4 to ZZ_4 times ZZ_2$, il 2-Sylow di $Aut(ZZ_75)$. Ora mi inceppo un po' nello studio delle varie h perché ce ne sono diverse e devo vedere quando diverse h danno lo "stesso" gruppo. Ad esempio:
$h_1(1)=(0,0)$, in questo caso il gruppo è abeliano $G~=ZZ_300$
Poi ci sono altri casi da studiare...il mio problema è identificare i morfismi che danno gruppi isomorfi. Avevo pensato, per discriminare i casi, di studiare del centro del gruppo; un esempio potrebbe essere questo:
$h_2(1)=(0,1)$ , in questo caso $Z(G)~=ZZ_25$, mentre con $ h_3(1) = (1, 0)$ $Z(G)~=ZZ_3$
Non so se tutto questo fin qui va bene...però adesso già mi perdo ad esempio con $h_4(1)=(3,0)$; perché non so più come calcolare con le altre $h$ i centri

[Stickelberger]

A meno di isomorfismo, ci sono $6$ gruppi secondo me.

Sia $\sigma$ un elemento di ordine $4$ in $G$. Allora $\sigma$ agisce
via coniugio sul $5$-Sylow $P$ e sul $3$-Sylow $Q$.
L’ordine dell’automorfismo indotto da $\sigma$ in $Aut(P)$ resp. $Aut(Q)$
e’ un invariante del gruppo. Perche’ $P$ (resp. $Q$) e’ unico
e si tratta della cardinalita’ dell’imagine di $G//P$ in $Aut(P)$
(resp. di $G//Q$ in $Aut(Q)$).

L’ordine dell’automorfismo indotto da $\sigma$ in $Aut(P)$ e’ $1$, $2$ o $4$,
mentre l’ordine dell’automorfismo indotto da $\sigma$ in $Aut(Q)$ e’ $1$ o $2$.

Ci sono quindi almeno $3\times 2=6$ gruppi a meno di isomorfismo.

In realta’, per ogni scelta dei due ordini c’e’ un unico gruppo a meno di isomorfismo.
Questo segue dal fatto che gli elementi di ordine $1$ e $2$ sono unici nei gruppi
ciclici $Aut(P)$ e $Aut(Q)$ e che ci due elementi di ordine $4$ in $Aut(P)$. Infatti,
i due prodotti semidiretti, costruiti con gli automorfismi di ordine $4$ sono isomorfi.
Basta scambiare $\sigma$ e $\sigma^{-1}$.