Domanda divisione polinomi in più indeterminate

[Reyzet]

Ciao, avrei una domanda. Quando divido due polinomi in più indeterminate quando vado a considerare il resto si abbassa solo il grado della variabile considerata o di tutte? Mi spiego meglio:
Se lavoro in $Q[X,Y]=(Q[Y])[X]$, considero $X^3-Y^2$ e prendo un polinomio $f(X,Y)$, faccio la divisione e trovo $f=q(X,Y)(X^3-Y^2)+r(X,Y)$, si ha che il grado rispetto a x di $r(X,Y)$ è minore di 3, ma quello rispetto Y? È minore di 2 o può anche essere uguale a 2?

[Martino]

Può essere uguale.

[Reyzet]

Ok grazie mille quindi per esempio il resto, se dividessi rispetto a $y^2$ in questo caso verrebbe una cosa della forma:
$r(x,y)=k(x)y+l(x)=y(ax^3+bx^2+cx+d)+(ex^3+fx^2+gx+h)$ ?