Salve a tutti, ho questo esercizio da risolvere sfruttando il principio di induzione ma da un certo punto in poi non riesco a proseguire nella dimostrazione. Riporto la traccia dell'esercizio cosi come mi è stata assegnata.
Sia $ (a_n)_(nin N) $ una successione in N e $ b> 1 $
Se $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i <b^(n+1) $
Ho proceduto in questo modo.
PASSO BASE
Per n=0 $ a_0 < b $ da cui segue banalmente la tesi.
PASSO INDUTTIVO
Suppongo vero per n che $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i <b^(n+1) $. Devo dimostrare che questo è vero anche per n+1.
I miei problemi sorgono proprio in questo punto. A partire da $ a_(n+1)<b $, come faccio a sfruttare l'ipotesi induttiva e dimostrare che la disuguaglianza è vera anche per n+1? In modo particolare mi risulta impossibile riscrivere il termine n+1-esimo in modo da ricondurmi più facilmente all'ipotesi induttiva ma presumo che non sia necessario per questo esercizio.
Grazie a tutti coloro che vorranno chiarirmi questi dubbi e/o darmi qualche suggerimento per procedere nella dimostrazione.