Ciao,
proviamo una cosa alla volta, cosi non facciamo confusione
sia $X^X={sigma|sigma :X to X}$ dobbiamo dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo.
Ricordo la definizione di gruppo; si definisce gruppo $X^X$, se $circ$ operazione interna gode:
1) $circ$ è assocciativa
2) esiste in $X^X$ elemento neutro rispetto a $circ$
3) per ogni elemento di $X^X$ è simmetrizzabile rispetto a $circ$.
Proviamo 1)
Siano "per semplicità cambio la notazione" $f,g,h in X^X$;
$f circ (g circ h)=(f circ g) circ h$
per ogni $x in X$ risulta:
$f circ (g circ h)=(f circ (g circ h))x=f((g circ h)x)=f(g(h(x)))$
$(f circ g) circ h=((f circ g) circ h)x=(f circ g)(hx)=f(g(h(x)))$.
Proviamo 2)
Sia $f:X to X$ elemento di $X^X$ e $I_X: X to X$, risulta $f circ id.X=f$.
Proviamo 3)
Sia $f:X to X$ simmetrizzabile, allora esiste il suo simmetrico $g :X to X$. Sia $y$ posto $g(y)=x$ essendo che $f circ g = I_X$ "g fa corrispondere per ogni $y in X$ l'unico $x: f(x)=y$", per cui si ha $f(x)=f(g(y))=y$, quindi $f$ è suriettiva.
Siano $f(x_1)=f(x_2) $, con $x_1, x_2 in X$ dato che $g circ f=I_X$ allora $x_1=g(f(x_1))=g(f(x_2))=x_2$, quindi f è iniettiva. Per cui $f$ risulta essere biettiva.
Sia $f$ biettiva, l'inversa $f^(-1)$ risulta essere il simmetrico, quindi $f circ f^(-1)=I_X=f^(-1)circ f$.
Scusami non capisco quello che mi vui dire qui:
fmnq ha scritto:non compare mai Y, non ha quindi speranze di essere giusto.