Aiuto sulle sequenze esatte

[Sabb]

Ho un dubbio forse banale sulle sequenze esatte, non riesco a trovare una conferma o meno nei libri, quindi chiedo a voi una spiegazione.

Supponiamo di avere una sequenza esatta
\[ 0 \to A^0 \to A^1 \to \dots \to A^k \to 0 \]
con $k$ finito.

Se ad esempio per due valori $t_1$ e $t_2$ tali che $0<t_1<t_2<k$ si ha che
\[ \dots \to 0 \to A^{t_1} \xrightarrow{f} A^{t_2} \to 0 \to \dots \]
Allora posso considerare
\[ 0 \to A^{t_1} \xrightarrow{f} A^{t_2} \to 0 \]
come una sequenza esatta corta? Ad esempio in questo caso posso dire che $f$ è un isomorfismo tra $A^{t_1}$ e $A^{t_2}$?
Grazie a tutti.

[fmnq]

Se ad esempio per due valori $t_1$ e $t_2$ tali che $0<t_1<t_2<k$ si ha che
\[ \dots \to 0 \to A^{t_1} \xrightarrow{f} A^{t_2} \to 0 \to \dots \]

Se "si ha che [sequenza]" significa "[sequenza] è esatta" e $t_2 = t_1+1$, allora $f$ è un isomorfismo, altrimenti no (e la domanda non ha nemmeno senso: se \(t_2 - t_1 > 1\) la composizione $A_{t_1}\to A_{t_2}$ è zero per definizione).

[Sabb]

Se $t_2 = t_1+1$...

Si, non l'ho scritto ma nell'esempio che ho proposto sottintendevo $t_2=t_1+1$. Ok, grazie!