Problema disuguaglianza per induzione

[J0sePH_]

Salve a tutti sto avendo qualche difficoltà con questa dimostrazione per induzione








arrivati li io so che dovrei scrivere n+1 < 2^(n^2 √n +1) +1< 2^(〖(n+1)〗^2 √(n+1) +1) o è sblagliato?

[Platone]

Per \(n=0\) funziona. Per ogni \(n\geq 1\) abbiamo
\( 2^{(n+1)^2\sqrt(n+1) +1} = 2\cdot 2^{(n+1)^2\sqrt(n+1) } \geq 2\cdot 2^{(n^2+1)\sqrt(n+1) } \)
dato che \( (n+1)^2 \geq n^2+1 \), quindi continuando la catenda di disuguaglianze/uguaglianze
\( =2\cdot 2^{n^2\sqrt(n+1)+\sqrt(n+1)} \geq 2\cdot 2^{n^2\sqrt(n+1)+1} >2n \geq n+1\)
dove la terzultima disuguaglianza segue dal fatto che \( \sqrt(n+1)\geq 1\), la penultima vale per l'ipotesi induttiva, mentre l'ultima è vera per \(n\geq 1\).