Salve a tutti, sto studiando per l'esame di matematica discreta e mi sono bloccato su metà esercizio. La traccia è la seguente:
Sia $(S, \cdot )$ un monoide, e sia $x$ un elemento di $S$. Provare per induzione che $\forall n,m \in N \cup {0}$ risulta:
(1) $x^m x^n = x^(m+n)$
(2) $(x^m)^n = x^(mn)$
Per il punto (1) ho proceduto nel seguente modo:
Passo base: $m=n=0$ ed è banalmente verificato
Ipotesi induttiva : $x^(m-1) x^(n-1) = x^((m-1)+(n-1)) \Rightarrow x^m x^n = x^(m+n)$
Passo induttivo: $x^m x^n = x^(m+n) \Rightarrow (x^(m-1) x)(x^(n-1) x) = x^((m-1)+(n-1)) x^2$
A questo punto spiego che $x^(m-1) x^(n-1) = x^((m-1)+(n-1)) $ è vera per ipotesi induttiva e
$x x = x^2 $ è banalmente verificato.
Per il punto (1) non sono molto sicuro mentre per il punto (2) non so come procedere, qualcuno potrebbe darmi una mano gentilmente?
Ringrazio tutti in anticipo