gugo82 ha scritto:Dunque credi che la teoria dei moduli sia un argomento “di base”?
In un certo senso non hanno niente di "superiore", la teoria dei moduli è la stessa degli spazi vettoriali, al netto di molti fatti, ciascuno dei quali è "elementare", ma quando li consideri tutti insieme viene una teoria piuttosto vasta. Si tratta, quindi, di un argomento molto esteso e pieno di patologie, ma dal punto di vista meramente tecnico a uno studente con un buon corso di algebra elementare alle spalle non manca niente per leggere l'intero
Lam da copertina copertina.
1. I moduli su $ZZ$-algebre si comportano in maniera più patologica dei moduli su $k$-algebre, perché al variare dell'anello di riferimento le proprietà dei moduli su quell'anello possono cambiare drammaticamente (ed è proprio la teoria dei moduli a illuminare questa differenza di comportamento: patologie e proprietà della categoria dei moduli sono indotte o inducono proprietà dell'anello $k$).
2. Nella teoria dei moduli astratta, diventano di importanza predominante le cosiddette condizioni catenarie (noetherianità e artinianità, Jordan-Hölder...).
3. La teoria degli anelli è resa complicata dal fatto che gli anelli hanno ideali, i campi no.
4. Gli anelli possono essere commutativi o non esserlo, e certi anelli (come per esempio quelli che nascono dall'analisi funzionale, che sono rappresentabili come anelli di operatori lineari su uno spazio vettoriale topologico) non possono essere commutativi per costruzione. La mancanza di commutatività di $R$ rende difficile l'"algebra lineare" anche quando in $R$ tutti gli elementi diversi da zero sono invertibili (cioè quando $R$ è un campo non commutativo): ad esempio, prova a definire il "determinante" di una matrice i cui ingressi sono quaternioni.
5. La teoria dei moduli su campi ha un significato geometrico sedimentato nell'intuizione "fisica", è la geometria degli spazi lineari/affini modellati sull'intuizione euclidea dello spazio assoluto e isotropo e delle forze agenti su corpi come vettori. La geometria dei moduli su anelli non commutativi, come sa chiunque sappia cos'è la dualità di Gel'fand (to lo sai?), è molto più complicata.
Ciascuno di questi problemi, preso da solo, e/o affrontato con qualcuno che frantumi la complessità della questione in una decina di esercizi "semplici", sarebbe abbordabile dall'OP. Il suo problema è la scarsa padronanza del lessico (e del significato delle parole). Ma quella la curano solo il tempo e l'esercizio.