Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 15/01/2019, 18:39

Grazie per aver risposto.
Allora, per quanto riguarda la prima, se $\Gamma$ fosse infinito anche $V$ dovrebbe esserlo, giusto?
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi e la terza cosa ne è un esempio, giusto?
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di $R/I$ come $R$-modulo è corretta?
Inoltre, perché è sbagliata?
Per la terza $ZZ^(\Gamma)$ dovrebbe avere cardinalità pari alla cardinalità di $ZZ$ elevata a quella di $\Gamma$, mentre $Z/nZ$ dovrebbe avere cardinalità $n$, giusto?
mklplo
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 15/01/2019, 19:48

mklplo ha scritto:Allora, per quanto riguarda la prima, se \(\Gamma\) fosse infinito anche \(V\) dovrebbe esserlo, giusto?

Dovrebbe essere di dimensione infinita.
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi

Per fortuna non ti ho chiesto di dimostrare che "non esistono moduli liberi" (cosa che tra l'altro sarebbe falsa, potresti dimostrarla solo assumendo qualcosa di falso). Quello che ti ho chiesto di dimostrare è che non esiste nessun insieme \(\Gamma\) tale che \(R/I\) sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)} = \bigoplus_{\gamma\in\Gamma}R\) (questo insieme, lo ricordo, si ottiene prendendo le sequenze \((r_\gamma\mid \gamma\in\Gamma)\) tali che \(r_\gamma \neq 0_R\) per al più un numero finito di indici \(\gamma\). Si chiama la somma diretta di \(|\Gamma|\) copie di \(R\)).
la terza cosa ne è un esempio, giusto?

La terza cosa è un esempio, il più semplice che mi viene in mente, di uno \(\mathbb Z\)-modulo che non può essere libero; un tale \(\mathbb Z\)-modulo deve per forza essere un insieme infinito (perché tale è \(\mathbb Z\)), laddove invece \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ha solo \(n <\infty\) elementi.
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di \(R/I\) come \(R\)-modulo è corretta?

Viste le lacune che stai dimostrando, non sarei sicuro che tu abbia fatto "seguire facilmente" gli assiomi di \(R\)-modulo da ragionamenti ovvi. Quindi, non posso saperlo.
Inoltre, perché è sbagliata?

Questa frase non significa nulla: "Per quanto riguarda la dimostrazione, pensavo di provare la "contropositiva" e quindi mi basta trovare un insieme che renda \( R^{(\Gamma)} \) isomorfo a al quoziente tra \( R \) e i suoi ideali banali. Per fare questo penso che basta prendere \( \Gamma=\emptyset \) e \( \Gamma={\emptyset} \), giusto?"

Il motivo per cui non stai capendo quello che ti ho chiesto di fare è che ti mancano dei prerequisiti e una certa maturità matematica. Acquisiscile, e poi torna a studiare teoria dei moduli.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 15/01/2019, 20:59

Giusto volevo dire che $V$ deve avere dimensione infinita, inoltre non volevo dire che non esistono moduli liberi, ma che non tutti i moduli possono essere visti come moduli liberi. Per quanto riguarda la somma diretta la conosco la definizione, però non mi ricordavo che gli indici dovevano essere finiti. Tornando a quello che ho scritto nella seconda prova, ti trovi che se $A->B$ allora $!B->!A$ (con $!$ intendo la negazione),e quello volevo dimostrare, però mi sono espresso malissimo. In pratica volevo dimostrare che esiste un isomorfismo, per qualche $\Gamma$ tra $R^(\Gamma)$ e il quoziente di $R$ con i suoi ideali banali, visto come $R$-modulo.Secondo te va bene come idea?
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 15/01/2019, 21:29

mklplo ha scritto:In pratica volevo dimostrare che esiste un isomorfismo, per qualche $\Gamma$ tra $R^(\Gamma)$ e il quoziente di $R$ con i suoi ideali banali, visto come $R$-modulo.Secondo te va bene come idea?

Non c'è motivo di fare così; meglio supporre per assurdo che un isomorfismo $R/I\cong R^{(\Gamma)}$ esista; allora, se prendi l'immagine del sottomodulo non banale generato dagli elementi di $I$...
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 16/01/2019, 06:31

Allora, l'immagine sarà un sottomodulo non banale di $R^(\Gamma)$, e quindi l'immagine avrà una cardinalità minore di $\R^(\Gamma)$ e quindi abbiamo una contraddizione.
Va bene?
Per quanto riguarda la prima dimostrazione, che io sappia ci vorrebbe il lemma di Zorn, però si può fare anche in un altro modo?
mklplo
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 16/01/2019, 09:06

mklplo ha scritto:Allora, l'immagine sarà un sottomodulo non banale di $R^(\Gamma)$, e quindi l'immagine avrà una cardinalità minore di $\R^(\Gamma)$ e quindi abbiamo una contraddizione.
Va bene?

Secondo te va bene?
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 16/01/2019, 10:05

l'idea è sbagliata totalmente o è solo la forma il problema?
Se fosse il secondo caso pensavo di rendere così l'idea:
Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se l cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ sono uguali, ma questo avviene solo se $\Gamma$ ha un solo elemento e se $I$ è l'ideale contenente il solo emento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 16/01/2019, 10:53

mklplo ha scritto:ma questo avviene solo se $\Gamma$ ha un solo elemento

Non c'è affermazione più falsa di questa.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 16/01/2019, 11:07

Si sto facendo una confusione tremenda tra somme diretta e prodotti diretti (come del resto tra cardinalità e dimensione), tuttavia anche se quell'affermazione è falsa comunque $R/I$ per essere uguale a $R$, $I$ deve essere un ideale banale giusto?
mklplo
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 16/01/2019, 12:35

mklplo ha scritto:Si sto facendo una confusione tremenda tra somme diretta e prodotti diretti (come del resto tra cardinalità e dimensione), tuttavia anche se quell'affermazione è falsa comunque $R/I$ per essere uguale a $R$, $I$ deve essere un ideale banale giusto?

Certo, ma non c'entra nulla...
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