esercizio ideali di un anello

Messaggioda margherita.ciampi » 05/02/2019, 20:38

buona sera a tutti e grazie a chiunque risponderà.
Esercizio: sia dato un qualunque anello $A$, dimostrare che se $x\in A$ e definito l'insieme $Ax={ax:a\inA}$ si ha:
1) $Ax$ è un ideale sinistro di $A$
2) $Ax$ è contenuto in ogni ideale sinistro di A cui appartiene $x$
3) L'unica proprietà che in genere manca ad $Ax$ affinché sia l'ideale generato da ${x}$ è che ${x}\subseteq Ax$
Svolgimento:
1) Per definizione se $H$ è una parte non vuota di $A$, $H$ è un ideale sinistro se :
$\forall h,k \in H\rightarrow h-k \in H$
$\forall h\in H , \forall a \in A\rightarrow ah\in H$
Quindi nel nostro caso:
$\forall ax,bx \in Ax$con $a,b \in A\rightarrow (a-b)x \in Ax$ in quanto l'elemento $(a-b)\in A$ essendo $A$ un anello (ho un dubbio su questa motivazione se è giusta potete chiarirmi il perché?)
Siano $ax\in Ax$ e $ b\in A\rightarrow b(ax) \in Ax$ in quanto l'elemento $(ba) \in A$ (stesso dubbio di prima :-D )

2) Sia $H$ ideale sinistro di $A$ contenente $x$.
Sia $ax \in Ax$
essendo $a \in A$ e $x\in H$ allora $ax \in H $ in quanto per ipotesi $H$ è ideale sinistro di $A$
quindi ogni elemento di $Ax$ sta anche in $H$ quindi $Ax\subseteq H$

3) é conseguenza della definizione di ideale generato da una parte ?
SI definisce ideale di $A$ generato da una sua parte $X$ l'intersezione di tutti gli ideali di $A$ contenenti $X$
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Re: esercizio ideali di un anello

Messaggioda fmnq » 05/02/2019, 21:00

Se l'anello è unitario, $Ax$ è proprio l'ideale sinistro generato da $x$; ora, la domanda è: stai studiando anelli non unitari? Perché?
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Re: esercizio ideali di un anello

Messaggioda margherita.ciampi » 05/02/2019, 21:07

è un esercizio che mi ha dato la professoressa per farmi capire il concetto di ideale generato da una parte. Quindi è un analisi della situazione solo più specifica.
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Re: esercizio ideali di un anello

Messaggioda fmnq » 05/02/2019, 21:42

Questo non risponde alla domanda; $A$ è un anello unitario? Se sì, $Ax$ contiene $x$.
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Re: esercizio ideali di un anello

Messaggioda margherita.ciampi » 05/02/2019, 21:48

no come dice il testo dell'esercizio $A$ è un anello qualunque.
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Re: esercizio ideali di un anello

Messaggioda fmnq » 06/02/2019, 14:11

Allora il fatto è semplicemente che in generale $A$ non è unitario. Le altre proprietà dell'essere un ideale le hai già verificate.
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