Salve a tutti, avrei, come da titolo, un dubbio sorto da un esercizio lasciatoci dal nostro professore, il testo recita:
Sia A l’insieme {∅}. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta per ogni relazione R ⊆ A × A? , e vengono poi elencate tutte le proprietà (riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva).
La prima cosa che ho notato è che \( \wp( \emptyset ) \) = \( A \) = { \( \emptyset \) }
L'unica relazione binaria possibile su \( \wp( \emptyset ) \) è \( R = { (\emptyset ,\emptyset ) } \) ( non capisco come rappresentare con LaTeX gli insiemi con le graffe), giusto?
Da quel ragionamento seguono le mie seguenti affermazioni:
1)R gode della proprietà riflessiva perché ogni elemento di \( \wp( \emptyset ) \) è in relazione con sé stesso;
2)Non è antiriflessiva, proprio perché almeno un elemento è in relazione con sé stesso;
3)Gode della proprietà simmetrica perché ogni elemento aRb implica che bRa;
4)Gode della proprietà antisimmetrica perché ogni aRb e bRa implica che a = b;
5)Gode della proprietà transitiva ( e qui alcune incertezze ), perchè non essendoci abbastanza elementi da dimostrarne il contrario, essa è verificata;
Confrontandola con le soluzioni, ho a mio malgrado trovato che R non gode della proprietà riflessiva(le altre risposte sono corrette).
Qualcuno sà spiegarmi il perché?