Ciao fmnq. Provo a rispondere
fmnq ha scritto:(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...
Considero una parte $(\mathcal E, \subseteq)$ totalmente ordinata dell'insieme $\mathcal T$ delle coppie del tipo $(L,\phi)$, con $K\le L\le F_{1}$ e $\phi : L\to F_{2}$ un omomorfismo. Ora voglio trovare un maggiorante per $\mathcal E$. Sia
\[
T=\bigcup_{K\in \mathcal E} K
\]
Se $x,y\in T$ allora esistono $K_{1},K_{2}\in \mathcal E$ tali che $x\in K_{1}$ e $y\in K_{2}$. Poiché gli elementi di $\mathcal E$ sono confrontabili, posso supporre $K_{1}\le K_{2}$ e $x-y,xy^{-1}\in K_{2}$. Pertanto $x-y,xy^{-1}\in T$, cioè $T$ è un sottocampo di $F_{1}$ che contiene $K$.
Scelgo, poi, per ogni elemento $x\in T$ una funzione $\phi_{x} : L_{x} \to F_{2}$, ove $L_{x}\in \mathcal E$ è un elemento che contiene $x$. Visto che le funzioni di questo tipo sono tutte confrontabili, posso considerare l'applicazione
\[
\varphi : x\in T \to \phi_{x}(x)\in F_{2}
\]
Termino provando che $\varphi$ è un omomorfismo. Siano $x,y\in T$ e $K'$ un elemento di $\mathcal E$ che contiene $x$e $y$ : allora $xy,x+y\in K'$ e $\phi_{xy}$ e$\phi_{x+y}$ sono confrontabili con $\phi_{x}$ e $\phi_{y}$. Pertanto
\[
\varphi(xy)=\phi_{xy}(xy)=\phi_{xy}(x)\phi_{xy}(y)=\phi_{x}(x)\phi_{y}(y)=\varphi(x)\varphi(y)
\]
\[
\varphi(x+y)=\phi_{x+y}(x+y)=\phi_{x+y}(x)+\phi_{x+y}(y)=\phi_{x}(x)+\phi_{y}(y)=\varphi(x)+\varphi(y)
\]
Pertanto $(T,\varphi)$ è un maggiorante di $\mathcal E$ e l'insieme $\mathcal T$ è induttivo. Segue dal Lemma di Zorn che esiste un elemento massimale $(M,\psi)$.
fmnq ha scritto:(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)
Se fosse $M\ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!
fmqn ha scritto:Cantor99 ha scritto:Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?
Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.
Qui penso di essere in alto mare
soprattutto perché non riesco a vedere il ruolo di $\psi$