Ideali primari

Messaggioda margherita.ciampi » 26/02/2019, 12:57

Ogni ideale primo è primario.

Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:

Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, allora l’ideale $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario di $\mathbb {Z}$ ma non è primo. Infatti se consideriamo $3^2 \mathbb{Z}$ , costituito quindi da tutti i multipli di $3^2$ , si ha che $6 \cdot12=72 \in 3^2 \mathbb{Z}$ ma sia $6$ che $12$ non appartengono a $3^2 \mathbb{Z}$ , e quindi non è ideale primo; risulta invece ideale primario in quanto $6^2 \in 3^2\mathbb{Z}$.

Sono riuscita a dimostrarlo solo con un esempio. Riuscireste ad aiutarmi a date una dimostrazione più generale?
margherita.ciampi
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Re: Ideali primari

Messaggioda otta96 » 26/02/2019, 13:50

Cosa intendi?
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Re: Ideali primari

Messaggioda margherita.ciampi » 26/02/2019, 13:59

vorrei dimostrare in maniera generica che $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario!
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Re: Ideali primari

Messaggioda otta96 » 26/02/2019, 15:26

Allora dimostralo.
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Re: Ideali primari

Messaggioda margherita.ciampi » 26/02/2019, 18:57

Già ... chiedevo aiuto perché evidentemente ho trovato delle difficoltà!
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Re: Ideali primari

Messaggioda otta96 » 26/02/2019, 19:53

Ok, allora posta cosa hai provato a fare e si guarda insieme.
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Re: Ideali primari

Messaggioda fmnq » 27/02/2019, 09:39

Praticamente l'hai già dimostrato. Guarda l'esempio che hai portato e usa delle lettere.
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Re: Ideali primari

Messaggioda margherita.ciampi » 23/03/2019, 10:57

dimostriamo che l'ideale $H=(p^n)$ è primario con $p$n primo:
osserviamo che l'ideale $H$ è ideale proprio in quanto $p^n$ non è invertibile.
Se $ab \in (p^n)$, con $a,b \in \mathbb Z$, allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ da cui $ab=p(p^{n-1}c)$ cioè $p$ divide $ab$.
Essendo $p$ primo esso divide $a$ oppure divide $b$. L'anello $\mathbb Z$ è commutativo per cui $p^n$ divide $a^n$ e così $a^n \in H$ oppure $p^n$ divide $b^n$ e così $b^n \in H$. abbiamo così provato che $H$ è primario.

Non riesco a dimostrare che $H=(p^n)$ non è primo. Ho provato in questo modo:
Se $ab \in (p^n)$ allora esiste $c \in \mathbb Z$ tale che $ab=p^nc$ allora $a=p^n c b^{-1}$ ma $b^{-1}\notin mathbb Z$ (ma questo può non essere sempre vero perché $b$ potrebbe essere uno dei due unici elementi invertibili di $\mathbb Z$ cioè $b=-1$) così da poter affermare che sia $a$ che $b $ non appartengono a $(p^n)$ perché $p^n$ non li divide.

HELP
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Re: Ideali primari

Messaggioda margherita.ciampi » 23/03/2019, 11:02

però $\mathbb Z$ è anello principale dunque fattoriale per questo ogni suo elemento o è irriducibile o è prodotto di elementi irriducibili, che sono non invertibili.
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Re: Ideali primari

Messaggioda Martino » 23/03/2019, 14:53

Prova a pensare a questo: $p * p^2 = p^3 in (p^3)$, ma $p$ e $p^2$ non stanno in $(p^3)$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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