Ogni ideale primo è primario.
Dimostrazione: Sia $H$ è un ideale primo di un anello commutativo $A$. Per ogni coppia $(a,b)$ di elementi di $A$ si ha che se $ab \in H$ allora o $a\in H$ oppure $b \in H$ . Se $a \notin H$ segue necessariamente che $b=b^1 \in H$ , così $ H$ é primario.
Non sempre vale il viceversa, infatti:
Sia $p$ numero primo e $n\geq 2$ un intero, allora l’ideale $p^n \mathbb {Z} = (p^n)$ è ideale primario di $\mathbb {Z}$ ma non è primo. Infatti se consideriamo $3^2 \mathbb{Z}$ , costituito quindi da tutti i multipli di $3^2$ , si ha che $6 \cdot12=72 \in 3^2 \mathbb{Z}$ ma sia $6$ che $12$ non appartengono a $3^2 \mathbb{Z}$ , e quindi non è ideale primo; risulta invece ideale primario in quanto $6^2 \in 3^2\mathbb{Z}$.
Sono riuscita a dimostrarlo solo con un esempio. Riuscireste ad aiutarmi a date una dimostrazione più generale?