Non sono esperto di teoria dei numeri e di ideali. Mi occorre sapere, per risolvere un problema di teoria dei controlli, se vale la seguente proprieta':
PROPRIETA':
Siano dati 2 interi positivi M e n. Esistono M interi positivi $z_1,z_2,\cdots,z_M$ tali che, tutti gli interi che posso costruire da essi nel seguente modo:
\[
\sum_{i=1}^Mc_iz_i
\]
dove $c_i$ sono $M$ interi positivi, compreso lo 0, tali che $\sum_{i=1}^Mc_i\le n$, hanno una scrittura unica. Cioe' vale sempre
\[
\sum_{i=1}^Mc_iz_i\neq
\sum_{i=1}^Md_iz_i
\]
con $\sum_{i=1}^Mc_i\le n$ e $\sum_{i=1}^Md_i\le n$ e i coefficienti $c_i$ differiscono dai $d_i$ per almeno un valore di $i$.
E' sempre possibile? A quale condizione sugli $z_i$? Che tipo di teoria devo studiare per capire meglio?
Ad esempio se $M=3$ e $n=2$, gli $M$ numeri $z_1=3$, $z_2=5$, $z_3=7$, non soddisfano la proprieta'. Infatti posso formare 10 sia con $c_1=0$, $c_2=2$, $c_3=0$ ma anche con $d_1=1$, $d_2=0$, $d_3=1$.
Contrariamente i numeri $z_1=5$, $z_2=7$, $z_3=11$ soddisfano la proprieta'.