ideale [J:I]

Messaggioda margherita.ciampi » 08/03/2019, 22:56

Siano $I$ e $J$ ideali di una nello commutativo $A$ e si ponga
$[J:I]={x \in A | ax \in I \ per \ ogni\ a \in J}$
Si provi che tale insieme è un ideale di $A$ che contiene $I$

siano $h,k \in [J:I] $ allora $ah \in I$ e $ak \in I$ per ogni $a \in J$
si ha : $a(h-k)=ah-ak \in I $ ciò implica che $h-k \in [J:I]$

sia $ h \in [J:I]$ allora $ah \in I $ per ogni $a\in J$
per ogni $b \in A$ si ha : $a(bh)=b(ah) \in I$ (tale prodotto sta in $I$ in quanto $I$ è ideale di $A$) ciò implica che $bh \in [J:I]$

abbiamo così dimostrato che $[J:I]$ è ideale di $A$

non so come dimostrare che $I$ e contenuto in $[J:I]$. Ho pensato di dimostrare che ogni elemento di $I$ sta in $[J:I]$ ma non riesco a formalizzarlo. Grazie in anticipo per l'aiuto :)
margherita.ciampi
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 24 di 36
Iscritto il: 09/04/2018, 11:14

Re: ideale [J:I]

Messaggioda Reyzet » 08/03/2019, 23:19

Prendi $x \in I$ ciò che ti serve è che preso $j \in J$, si abbia $jx \in I$, ma ciò è evidente per la proprietà di assorbimento dell'ideale (cioè gli elementi dell'ideale "assorbono" gli elementi di A tramite prodotto, quindi in particolare quelli di J vengono "assorbiti") perciò $x \in [J:I]$
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 66 di 122
Iscritto il: 20/01/2018, 15:24

Re: ideale [J:I]

Messaggioda margherita.ciampi » 08/03/2019, 23:24

puoi spiegarmi meglio questo "assorbimento"??
margherita.ciampi
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 25 di 36
Iscritto il: 09/04/2018, 11:14

Re: ideale [J:I]

Messaggioda Reyzet » 08/03/2019, 23:42

È semplicemente una delle due proprietà che caratterizzano gli ideali ovvero:
$\forall a\in A, i\in I$ si ha $ai \in I$ (se A commutativo, altrimenti va distinto il prodotto a dx e sx)
Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 67 di 122
Iscritto il: 20/01/2018, 15:24

Re: ideale [J:I]

Messaggioda margherita.ciampi » 08/03/2019, 23:58

Reyzet ha scritto:Prendi $x \in I$ ciò che ti serve è che preso $j \in J$, si abbia $jx \in I$

$j$ oltre ad essere un elemento di $J$ è anche un elemento di $A$ quindi essendo $I$ ideale si ha $jx \in I$. Giusto?
margherita.ciampi
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 26 di 36
Iscritto il: 09/04/2018, 11:14

Re: ideale [J:I]

Messaggioda Reyzet » 09/03/2019, 00:33

Reyzet
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 68 di 122
Iscritto il: 20/01/2018, 15:24


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti