Numeri triangolari: somme

Messaggioda Lavino » 14/03/2019, 16:57

Salve a tutti. Ci sono delle formule tipo quelle per le terne pitagoriche, per determinare tutte le coppie di numeri triangolari che sommati danno come risultato un numero triangolare?
Grazie
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Re: Numeri triangolari: somme

Messaggioda axpgn » 14/03/2019, 18:15

Cioè? Fai un esempio … non ho capito cosa vuoi sapere di preciso …
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Re: Numeri triangolari: somme

Messaggioda Lavino » 16/03/2019, 12:08

Un esempio di ciò che potremmo chiamare una "terna triangolare" è questo:

6 + 15 = 21

in cui tutti e tre i numeri sono numeri tringolari. C'i sono delle formule, come quelle per le terne pitagoriche, per trovare tutte le terne di questo tipo?
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Re: Numeri triangolari: somme

Messaggioda axpgn » 16/03/2019, 20:38

... mmm ... ci sono tante "formule" inerenti i numeri triangolari ma una simile a quella che cerchi non l'ho mai incontrata ... vediamo se qualcun altro la conosce ...
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Re: Numeri triangolari: somme

Messaggioda axpgn » 16/03/2019, 21:05

Forse ho trovato qualcosa ma non è quello che stai cercando ...

Se $n^2$ è anche un numero triangolare allora $n^2=t_x=t_k+t_(k+1)$ (in quanto la somma di due numeri triangolari consecutivi è un numero quadrato).
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Re: Numeri triangolari: somme

Messaggioda Lavino » 19/03/2019, 10:51

Grazie comunque per l'interessamento!
In attesa che altri dicano la loro voglio condividere quanto ho escogitato in proprio. Magari qualcuno può suggerire qualche correzione.
Essendo noto che l'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
$ T_n = (n(n+1))/2 $
ho posto la seguente condizione:

$ (a(a+1))/2 + (b(b+1))/2 = (c(c+1))/2 $

portando a secondo membro una delle due frazioni e moltiplicando tutto per 2 si ottiene:

$ a(a+1) = c^2 – b^2 + c – b $
e quindi
$ a(a+1) = (c-b) (c+b+1)$
ora, ragionando similmente a come Diophanto fa per le terne pitagoriche, ho posto i due fattori del prodotto al secondo membro, il primo = q e il secondo =2p e ho ottenuto queste
$ c = (2p + q – 1)/2 $
$ b = (2p – q – 1)/2 $
che hanno soluzioni intere con q dispari e $2p > q + 1$ e p e q divisori non necessariamente primi.
Se conosciamo la scomposizione in fattori di un numero triangolare possiamo calcolare con il prodotto di 2 suoi divisori tutte le terne che lo contengono come addendo. Ad esempio

$ T_14 = 105 = 3*5*7 $

prodotti di 2 divisori:

$ (3) * (5*7) $
$ (5) * (3*7) $
$ (7) * (3*5) $
$ (1) * (3*5*7) $

otteniamo $(105 + 561 = 666)$, $(105 + 171 = 276)$, $(105 + 66 = 171)$, $(105 + 5460 = 5565)$
Il guaio di questa procedura però è che bisogna conoscere la scomposizione in fattori.
Lavino
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