Sto facendo un po' di teoria delle categorie, e non riesco a comprender il ruolo di una parte nella definizione di funtore. I miei riferimenti per ora è Leinster. Riporto la definizione di funtore con la parte che mi interessa (la definizione completa è a pagina 17 del pdf):
Tom Leinster ha scritto:Let \(\mathcal A\) and \(\mathcal B\) categories. A functor \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) consists of
[taglio un po di cose per arrivare dritto al punto]
satisfying the following axioms:
- \(F(gf)=F(g)F(f)\) whenever in \(\mathcal A\)
- \(F(1_A)=1_{F(A)}\) whenever \(A \in \mathcal A\)
Qual è la necessità del secondo assioma? Non è sufficiente solo il primo? Intendo: preso un qualsiasi oggetto \(X\) della categoria \(\mathcal A\) si ha \[f=f1_X \quad \text{e} \quad 1_X g=g\] per ogni \(f \colon X \mapsto Y\) e \(g \colon Z \mapsto X\). Se \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B \) è un funtore, allora
\begin{align*}
& F(f)=F(f)F(1_X) \quad\text{per ogni } f \colon X \mapsto Y\\
& F(g)=F(1_X)F(g) \quad \text{per ogni } g \colon Z \mapsto X\,.
\end{align*} Essendo già \(1_{F(X)}\) identità su \(F(X)\) in \(\mathcal B\) ed essendo unica, si ha \(F(1_X)=1_{F(X)}\).