Penso che ci siano molte dimostrazioni in commercio (è un risultato importante), ti do qualche dritta per arrivare a quella che conosco io che sfrutta una particolare azione del gruppo.
Sia $G$ gruppo con $|G|=n$ con $r=v_p(n)$ (quindi possiamo scrivere $|G|=p^r m$ con $(p,m)=1$)
Allora considero $X={S \sube G| |S|=p^r}$
E considero l'azione
$G\xxX->X$
$(g,S)->gS={gs|s in S} in X$
(spero che abbiate visto le azioni scritte in modo simile a questo,
comunque l'azione semplicemente "muove" i sottoinsiemi che ho messo in $X$)
Domande/step
1. Quanto vale $|X|$?
2. Quanto vale $v_p(|X|)$?
3. Possiamo scrivere $|X|$ come somma di cardinalità delle orbite individuate dall'azione
(Questa sopra è una cosa vera in generale per qualsiasi azione)
4. Alla luce di 2. e 3. dedurre che non può essere che ogni orbita abbia come cardinalità un multiplo di $p$.
Quindi almeno un'orbita ha cardinalità coprima con $p$. Prendiamo $\overline{S}$ appartenente a tale orbita.
5. Considera $Stab(overline{S})$ e deduci che è proprio il sottogruppo di $G$ che cercavi.
Buon Lavoro