Ciao. Sia \( f\colon S\to T \) una funzione biiettiva, e siano \( \mathscr{F}_1 \) e \( \mathscr{F}_2 \) due famiglie di sottoinsiemi rispettivamente di \( S \) e di \( T \). Con \( f_{*} \) intendo la funzione \( \mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(T) \) che manda un sottoinsieme \( X\subset S \) nella sua immagine \( f(S) \).
Vorrei provare che \( f_{*}\left(\mathscr{F}_1\right)=\mathscr{F}_2 \) se e solo se preso un sottoinsieme \( U \) del dominio \( S \), esso appartiene a \( \mathscr{F}_1 \) se e solo se la sua immagine \( f_{*}(U) \) tramite la funzione è un elemento di \( \mathscr{F}_2 \).
Premetto i due seguenti lemmi.
Lemma 1. Una funzione \( f\colon S\to T \) è iniettiva se e solo se \( f_{*} \) lo è.
Dimostrazione. Sia \( f \) iniettiva. Siano \( X \), \( Y \) sottoinsiemi diversi di \( S \); il caso in cui uno dei due è vuoto è banale; se fosse \( f_{*}(X)=f_{*}(Y) \) per insiemi \( X \), \( Y \) non vuoti, avremmo che, senza perdita di generalità, per almeno un \( x\in X \), esso non appartiene a \( Y \). Allora, giacché \( Y \) non è vuoto, esiste \( y\in Y \) ed è \( x\neq y \), e quindi \( f(x)\neq f(y) \): ciò significa che \( f(x) \) non appartiene a \( f_{*}(Y) \), perché se vi appartenesse avremmo che \( x=y \).
Se invece è \( f_{*} \) ad essere iniettiva, abbiamo che presi due elementi \( s \) e \( t \) differenti di \( S \), è \( f_{*}(\{s\})\neq f_{*}(\{t\}) \), ossia \( f(s)\neq f(t) \). \( \square \)
Lemma 2. Una funzione \( f\colon S\to T \) è suriettiva se e solo se \( f_{*} \) lo è.
Dimostrazione. La diretta è immediata. Sia \( f_{*} \) suriettiva; allora preso \( \{t\} \) per un \( t\in T \) esiste \( X\subset S \) tale che \( f_{*}(X)=\{y\} \): tale sottoinsieme non può essere vuoto, altrimenti avremmo che \( \{y\}=\emptyset \). \( \square \)
Arriviamo quindi alla
Dimostrazione. Sia \( U \) un sottoinsieme di \( S \), e valga la prima ipotesi \( f_{*}\left(\mathscr{F}_1\right)=\mathscr{F}_2 \). Se \( U\in\mathscr{F}_1 \), allora la sua immagine appartiene a \( \mathscr{F}_2 \); all'indietro, se \( U \) è un insieme tale da avere l'immagine come elemento in \( \mathscr{F}_2 \), abbiamo che esiste un sottoinsieme \( V \) di \( S \) tale per cui \( f_{*}(V)=f_{*}(U) \): qui entra in gioco l'iniettività di \( f \) nel poter concludere che \( U \) appartiene a \( \mathscr{F}_1 \).
Al contrario, si assuma ora che per ogni sottoinsieme \( U \) di \( S \), l'appartenenza di \( U \) alla famiglia \( \mathscr{F}_1 \) sia possibile se e solo se \( f_{*}(U)\in\mathscr{F}_2 \). È evidente che preso un elemento di \( f_{*}\left(\mathscr{F}_1\right) \) esso apparterrà all'altra famiglia \( \mathscr{F}_2 \). Meno lo è il fatto che ogni elemento di \( \mathscr{F}_2 \) sia anche l'immagine di un qualche \( U\in\mathscr{F}_1 \). Così avviene però, per il lemma in spoiler: preso \( V\in\mathscr{F}_2 \) esiste un \( U\subset S \) tale che \( f_{*}(U)=V \); l'appartenenza di tale \( U \) a \( \mathscr{F}_1 \) garantitaci dall'ipotesi ci conferma la tesi. \( \square \)
Ora. Mi sembra che rilassare la richiesta di biiettività non sia possibile, a patto di non voler rinunciare ad un verso del teorema. Mi viene naturale chiedermi se l'inverso si pure vero, cioè se una funzione tale per cui ecc... sia anche biiettiva.
Ovviamente, nel caso ci fosse un modo meno noioso per dimostrare la cosa, sarò felice di conoscerlo.
EDIT: Ho sistemato le dimostrazioni dei due lemmi.