francicko ha scritto:Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Esatto, ma per esempio mi sai dire quanti elementi ha il gruppo di Galois di $X^5-2$?
Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Scusa non capisco, facciamo così: fammi lo stesso esempio ma con i polinomi di grado $3$. Se hai $X^3+aX^2+bX+c$ come fai, col tuo metodo, a determinare il gruppo di Galois? Così capisco cosa intendi con la domanda "Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo?" che davvero non riesco a interpretare.
Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Sì se aggiungi $sqrt(Delta)$ al "campo base" allora nel campo base ti trovi tutte le radici quindi il gruppo di Galois è ${1}$.
Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Ma c'è una differenza fondamentale. Se tu scegli specifici $a,b,c$ razionali allora il gruppo di Galois di $aX^2+bX+c$ non è necessariamente $S_2$, dipende dal valore che hai dato a $a,b,c$. Invece se $a,b,c$ sono variabili algebricamente indipendenti e il campo base è $K=QQ(a,b,c)$ allora il gruppo di Galois è $S_2$. Lo stesso vale per polinomi di grado $n$ qualsiasi (con $S_n$ invece di $S_2$).
Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
Invece questa frase è del tutto incomprensibile. Cosa vuol dire "se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico"? E' chiaro che nel momento in cui consideri un polinomio specifico, nel tuo caso $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$, i suoi coefficienti sono univocamente determinati, sono numeri razionali (addirittura interi) calcolabili esplicitamente, e ovviamente se hai dei numeri razionali sono automaticamente algebricamente dipendenti.
Non so se ci intendiamo con "algebricamente indipendenti". Se prendo una lista di numeri razionali $a,b,c,d,e$ allora sono per forza algebricamente dipendenti, sei d'accordo? Per esempio $a=5$ e $b=2/3$ sono algebricamente dipendenti perché $5+2/3=17/3$ quindi $a+b-17/3=0$ e questa è una relazione polinomiale (con coefficienti razionali) che lega $a$ e $b$.
Quando dico "variabili algebricamente indipendenti" sto prendendo delle variabili ausiliarie astratte $a,b,c,d,e$ che non sono numeri razionali, sono per l'appunto variabili ausiliarie, di cui l'unica cosa che so è che sono algebricamente indipendenti.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.