Sia $f(x)$ irriducibile di grado $n$ in $\mathbb{K}[x]$ e sia $\mathbb{E}=\mathbb{K}(\alpha_1,...,\alpha_n)$ il campo di spezzamento di $f(x)$. Possiamo costruirci il campo $\mathbb{E}$ con una serie di estensioni semplici consecutive, ovvere aggiungendo una radice alla volta:
$\mathbb{K}\subset\mathbb{\mathbb{K}(\alpha_1)\subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\subset ... \subset \mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2...,\alpha_n)=\mathbb{E}$
infatti essendo $f(x)$ irriducubile in $\mathbb{K}[x]$, allora $\mathbb{K}(\alpha_1)\cong {\mathbb{K}[x]}/{(f(x))}$ l'estensione ha grado $n$ uguale al polinomio minimo di $\alpha_1$. Inoltre $f(x)=(x-\alpha_1)g(x)$ in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ e
$\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\cong {\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$.
In questo caso non è detto che $g(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ e quindi possiamo dire solamente che il grado dell'estensione è minore o uguale a $n-1$.
Non mi torna la seguente cosa: come può $g(x)$ non essere irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$?
O meglio, se è vero (e anche su questo chiedo conferma, perchè magari è qui l'errore, se c'è) che $\mathbb{K}(\alpha_1,\alpha_2)\cong {\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$, allora ${\mathbb{K}(\alpha_1)[x]}/{(g(x))}$ è un campo, quindi $(g(x))$ è massimale, ma $\mathbb{K}(\alpha_1)[x]$ è un anello euclideo (con il normale grado) e quindi un PID (dominio a indeali principali) e in un PID un ideale $(d)$ è massimale sse $d$ è irriducibile.
Dove sbaglio?