Ciao,
ho il seguente esercizio.
Determinare il polinomio minimo di $a := \sqrt(5) + root(3)(2)$ su $Q(root(3)(2))$.
Svolgimento.
Il polinomio minimo di $a$ su $Q(root(3)(2))$ è $f(x) = x^2 - 2root(3)(2)x + root(3)(4) - 5$.
Infatti $f$ monico e si annulla in a per costruzione.
Non potendo controllare l'irriducibilità in un'estensione di $Q$, si osserva che, per la regola della catena sono valide le seguenti scritture:
$[Q(a) : Q] = [Q(a) : Q(root(3)(2))] * [Q(root(3)(2)) : Q]$ $*$
e allo stesso modo
$[Q(a) : Q] = [Q(a) : Q(root(2)(5))] * [Q(root(2)(5)) : Q]$
E' facile osservare che $[Q(root(3)(2)) : Q] = 3$ e $[Q(root(2)(5)) : Q] = 2$.
Affermo che $[Q(a) : Q] <= 6$, infatti lavorando algebricamente su a, trovo il polinomio $h(x) = (x^3 + 15x - 2)^2 - 5(5 + 3x^2)^2 = 0$
osservo che tale polinomio è monico, si annulla in a.
Pertanto osservo che
$2 | [Q(a) : Q]$
$3 | [Q(a) : Q]$
e poiché $(2,3) = 1$, evidentemente $6 = 2 * 3 | [Q(a) : Q]$.
Pertanto poiché il grado deve essere al più 6 e 6 divide il grado, segue che $[Q(a) : Q] = 6$.
Ora da $*$ posso affermare che $6 = [Q(a) : Q(root(3)(2))] * 3$, quindi $[Q(a) : Q(root(3)(2))] = 2$.
Da ciò posso dedurre che il polinomio $f$ è proprio il polinomio minimo di $a$ su $Q(root(3)(2))$
Quanto può andare?
Ci sarebbe un modo migliore?