Ciao, questo è il primo post anche se vi leggo da un po' in modalità lurker
Premetto che sono un po' avanti con l'età e sono i miei primi passi su questa materia per via di un esame (li faccio da privatista, non posso seguire le lezioni per motivi lavorativi) quindi perdonatemi se ci arrivo dopo alle vostre risposte.
Volevo chiedervi un consiglio su un esercizio che devo svolgere ma di cui non so se sto sbagliando completamente l'approccio al problema che è il seguente:
Si consideri l'insieme G [0;1] in R.
In questo insieme si ponga la relazione x*y uguale a
\begin{cases} x+y \Longrightarrow x+y=0) \\ x+y-1 \Longrightarrow x+1 >= 1) \end{cases}
Ora, la richiesta è verificare, sulla relazione data, che tutte le operazioni siano interne, sia associativa, commutativa, esista l'elemento neutro e l'inverso.
Il mio approccio è stato creare una tavola pitagorica con la relazione * ovvero:
* 0 1
0 0 0
1 0 1
I valori ottenuti sono l'applicazione di una delle due regole del sistema della relazione in base al risultato.
0 + 0 = 0 (perchè x +y< 1)
0 + 1 = 0 (perchè x +y = 1)
1+ 0 = 0 (perchè x +y = 1)
1 + 1 = 1 (perchè x +y > 1)
La verifica dei criteri è associativa, commutativa ma sono in dubbio sulla ricerca del neutro e dell'inverso.
Ho ragionato cercando l'elemento neutro "u" come l'elemento che a*u=a e dalla tabella sembra essere il valore 1
L'inverso è quell'elemento "aii" che applicato ad a*aii=u ma per x o y uguali a zero non esiste inverso che mi dia il neutro e quindi il gruppo non è abeliano perchè non ammette inverso.
Sto sbagliando ?
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto.