Dubbi su dimostrazione Wilson

[Steven]

Ciao a tutti.
Devo ricorrere al vostro aiuto perchè non riesco a comprendere un paio di cose, data la minima esperienza che ho accumulato finora nell'argomento.

Guardavo una dimostrazione del teorema di Wilson, posto il primo pezzo.
Th: $(p-1)!-=-1(mod p)

Sia
$g(x)=(x-1)(x-2)....(x-(p-1))$
ora si consideri
$f(x)=g(x)-(x^(p-1)-1)$
Ora, $g(x)$ è di grado $p-1$ mentre $f(x)$ di grado $p-2$ in quanto il termine di grado maggiore di $g(x)$ va ad annullarsi.
Fin qua tutto semplice.
Poi fa: riducendo mudulo p, deduciamo quindi che $f(x)$ ammette al massimo $p-2$ radici $mod p$.
Prima domanda: cosa significa "ridurre modulo p", e in generale la frase precedente?
Potete farmi un esempio, anche banale?
Se intanto potete dirmi questo, vi ringrazio. Il secondo dubbio (se permane) lo posto in seguito.

Grazie anticipatamente, ciao.

ps: la dimostrazione è qua http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Wilson
è la seconda.
Ciao

[luca.barletta]

ridurre modulo p significa che stai calcolando ambo i membri dell'equazione in modulo p

[Steven]

Perdonami, ma essendo ancora agli albori dell'argomento, non afferro.
Se mi facessi un esempio, il più veloce, te ne sarei grato.
Ciao.

[TomSawyer]

Ridurre modulo p, per esempio l'espressione $2(p+1)+p^2=4$, significa calcolare $2+0\equiv4(modp)$.

[Steven]

Va bene, grazie mille.

Quindi considerando l'equazione
$g(x)-(x^(p-1)-1)=f(x)$ (1)
dove, come già detto, $g(x)=(x-1)(x-2)...(x-(p-1))
Riducendo $mod p$ la (1), ottengo (correggetemi se sbaglio
$g(x)-=f(x) (mod p)$

Ora ci sono queste dannate 2 righe che non capisco

Ma per il teorema di Fermat, ognuno degli elementi 1, 2, ..., p − 1 è una radice di f(x). Ciò è impossibile, a meno che f(x) è identicamente zero mod p, e questo può avvenire solo se ogni coefficiente di f(x) è divisibile per p.

Mi fareste davvero un favore se provaste a chiarirmi un po' le idee.
Grazie mille, a presto.
S.

[luca.barletta]

Si era detto che $f$ ammetteva al più $p-2$ radici modp, essendo un polinomio di grado $p-2$. Ma $f(x)-=g(x) (modp)$ implica che f abbia le stesse radici di g, cioè p-1 radici, ma ciò non si può verificare.
Ci sarebbe il caso limite in cui f è identicamente nullo, e questo succede quando tutti i coeff di f sono congruenti a zero modp, ovvero sono multipli di p.

[Steven]

Ti ringrazio Luca.
Avrei l'ultima domanda, poi non scoccio più.
Potete darmi la definizione di "radice mod p"?
Ovvero, quali sono i vincoli che una radice mod p deve avere rispetto a una radice... non mod p?

Poi non capisco perchè sia $g(x)$ che $f(x)$ devono avere le stesse radici mod p.
Ad esempio, ammettiamo
$f(x)=x^3-2x^2-x+2$ (ammette tre radici)
e sia
$p(x)=f(x)-(x^3-x)$ (ammette due radici a causa delle semplificazioni)
Riduco questa sopra mod3, ottenendo
$p(x)-=f(x)(mod3)$
Le due equazioni hanno numero di radici diversi, e come hai detto tu Luca, non si può verificare.

Sicurmanete l'errore risiede nel fatto che non conosco bene cosa si intende per radice modp, ragion per cui ho posto la domanda a inizio post.
Mi scuso per il disturbo, ma ora che è finita scuola posso contare solo sul forum.
Ciao.

S.

[TomSawyer]

Non ci sono molti legami con le "vere" radici, dato che dipende tutto dal primo che scegli. Hai alcuni strumenti, come il teorema di Euler per ridurre modulo $p$ alcune espressioni.

Ma non ho capito di quale errore parli.

[Steven]

Nella dimostrazione del teorema, si giunge alla congruenza
$g(x)-=f(x)(mod p)$
dicendo che a questo punto occorre che sia $g(x)$ che $f(x)$ abbiano lo stesso numeri di radici.

Nel mio esempio sono arrivato a
$p(x)-=f(x)(mod3)$
ma $p(x)$ e $f(x)$ non hanno lo stesso numeri di radici, come ho fatto vedere.

Come ho già detto, sono quasi sicuro che il mio dubbio-errore (mio, non di wikipedia o terzi, ci mancherebbe )
sta nel fatto che non conosco il significato di "radice modp".

Ciao

[TomSawyer]

Per avere la congruenza $p(x)\equiv f(x)(modp)$ dovresti dimostrare con il teorema di Fermat che le radici di $f(x)$ siano radici anche per $p(x)$, quindi non capisco perché quel particolare esempio.