un pò di... algebra

[Valerio Capraro]

dimostrare il seguente fatto:

(indicherò con deg(F) il grado di un generico polinomio F)

Sia K un campo e siano F,G in K[X], deg(F),deg(G) > 0. Allora F,G hanno un fattore comune se e solo se esistono A,B in K[X], 0<deg(A)<deg(G), 0<deg(B)<deg(F) tali che AP = BG.

buon divertimento

ciao, ubermensch

[karl]

Visto che nessuno risponde,ci provo io.
Da un punto di vista elementare la dimostrazione
e' piuttosto facile.
[per fissare le idee poniamo deg(F)>=deg(G)]
Se F e G hanno un fattore comune H ,con deg(H)>=1
(si suppone che il fattore comune non si riduca ad una costante)
e non superiore al piu' piccolo tra deg(F) e deg(G),
allora e':
F=HB con deg(B)=deg(F)-deg(H)
G=HA con deg(A)=deg(G)-deg(H)
Ora e':
AF=AHB
BG=BHA
e quindi :AF=BG.
Viceversa sia :
AF=BG [con 0<deg(A)<deg(G) , 0<deg(B)<deg(F)]
Deve essere:deg(A)+deg(F)=deg(B)+deg(G)
ed essendo deg(F)>=deg(G) ,sara' deg(B)>=deg(A)
Si ha:
G=AF/B
Essendo G intero ,vi sono due possibilita':
1)B divide A (cio' e' possibile solo se deg(F)=deg(G))
allora ,ponendo A=HB ,risulta: G=HF ed il
fattore comune risulta essere proprio F.
Essendo H una costante ,questo caso e' banale
in quanto uno dei due polinomi differisce
dal secondo solo per una costante moltiplicativa.
2)B divide F
allora si puo' porre F=HB e si ha G=AH.
Dunqe esiste il fattore comune ed e' H.
karl.

[Valerio Capraro]

ho letto la tua dimostrazione velocemente ma mi sembra che il "viceversa" non funzioni perchè per concludere che B divide A o B divide F, devi sapere che B è irriducibile, ma questo non lo sai a priori e probabilmente neanche è vero...