Ciao!
Ho questo esercizio
sia \( \mathrm{C} \) una categoria e \( \mathrm{a,b \in Obj_C } \) due oggetti; mostrare che se il prodotto esiste allora è unico a meno di isomorfismi
se $atimesb$ e $a*b$ sono entrambi prodotti con proiezioni $pi_a:atimesb->a$(risp. $b$) e $p_a:a*b->a$(risp. $b$).
visto che $pi_a$ e $pi_b$ sono morfismi che vanno rispettivamente in $a$ e in $b$ ed essendo $a*b$ un prodotto esiste un solo morfismo $<<pi_a,pi_b>>:atimesb->a*b$ per cui $p_acirc<<pi_a,pi_b>>=pi_a$ e $p_bcirc<<pi_a,pi_b>>=pi_b$
invertendo i ruoli dei morfismi si ha che $<<p_a,p_b>>:a*b->atimesb$ è l'unico morfismo che rispetta l'analogia.
in questo modo $<<p_a,p_b>> circ <<pi_a,pi_b>> in M o r(a times b, a times b )$ e $<<pi_a,pi_b>>circ<<p_a,p_b>> in M o r(a*b,a*b)$
come posso concludere che le due composizioni sono $i d_(atimesb)$ e $i d_(a*b)$?
io direi che date le uguaglianze sono gli unici morfismi che rispettano $p_a circ [<<pi_a,pi_b>>circ<<p_a,p_b>>]=p_a$ ed essendo $p_a circ i d_(a*b)=p_a$ deve valere l'uguaglianza per l'unicità