Insieme non numerabile e biiezione

[3m0o]

Dimostra che un insieme \( A \) non può essere in biiezione con l'insieme dei suoi sottoinsiemi.

Allora vi chiedo se la mia idea è corretta e inoltre se sapete come trattare il caso in cui \( A \) è non numerabile.
La mia idea:
Se \( A \) è numerabile allora abbiamo due possibilità

1) Se \( \operatorname{card}(A) \in \mathbb{N} \), diciamo \( n \), allora è triviale, infatti \( \operatorname{card}(A)=n < \operatorname{card}(\mathcal{P}(A))=2^n \), \( \forall n \in \mathbb{N} \).

2) Se \( A \) non è finito, allora esiste una biiezione \( f: A \to \mathbb{N} \), pertanto basta mostrare che non esiste una biiezione tra \( \mathbb{N} \) e \( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \).
Per fare ciò consideriamo un arbitrario \( x \in [0,1] \), e consideriamo la sua espansione diadica (dyadic expansions). Abbiamo che
\[ x= \sum\limits_{k \in \mathbb{N} } \frac{\epsilon_{x,k}}{2^k } \]
Dove \( \forall x \in [0,1] \) abbiamo che \( (\epsilon_{x,k})_{k \in \mathbb{N}} \) è una successione a valori in \( \{0,1 \} \).
Possiamo pertanto trovare un'applicazione \( \phi : [0,1] \to \mathcal{P}(\mathbb{N} ) \) definita da \( \phi(x)= \{ k \in \mathbb{N} \mid \epsilon_{x,k} \neq 0 \} \).
\( \phi \) è sicuramente iniettiva infatti \(\forall x,y \in [0,1] \) tale che \( x \neq y \) abbiamo che \( \exists N \in \mathbb{N} \) tale che \( \epsilon_{x,N} \neq \epsilon_{y,N} \), pertanto \( \phi(x) \neq \phi(y) \).
Inoltre è suriettiva siccome \(\forall Y \in \mathcal{P}(\mathbb{N} ) \) allora definiamo \[ x := \sum\limits_{k \in \mathbb{N} } \frac{\epsilon_{x,k}}{2^k } \]
Dove \( \epsilon_{x,k} = 0 \) se e solo se \( k \not\in Y \) e \(\epsilon_{x,k} = 1 \) se e solo se \( k \in Y \).
Pertanto \( \forall Y \in \mathcal{P} \) esiste \( x \in [0,1] \) tale che \( \phi(x)=Y \).
Abbiamo dunque che esiste una biiezione \( \phi : [0,1] \to \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) pertanto siccome \( [0,1] \) non è numerabile non è possibile trovare una biiezione \( g: \mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N}) \), e pertanto non è possibile trovare nemmeno una biiezione \( h : A \to \mathcal{P}(A) \).

Se \( A \) è non numerabile allora non ne ho idea...

Ps: Sto considerando \( \mathbb{N} := \{ 1, 2, \ldots \} \) dunque senza lo zero.

[Stickelberger]

Sia $A$ un’insieme e $f:A\rightarrow P(A)$ un’applicazione.
Consideriamo $B=\{a\in A:a\notin f(a)\}$. Allora $B$ e’ un elemento di $P(A)$.
Se $f$ fosse suriettiva, allora esisterebbe $x\in A$ con $f(x)=B$.
Se $x\in B$, allora per definizione di $B$ si ha che $x\notin f(x)=B$. Contraddizione.
Allora $x\notin B$. Per definizione di $B$ si ha quindi che $x\in f(x)=B$. Contraddizione.
La conclusione e’ che $f$ non puo' essere suriettiva.