fields ha scritto:Per il primo punto: ogni gruppo di ordine $p^2$, con $p$ primo, e' abeliano.
Dimostriamolo pure: Sia allora $G$ un gruppo di ordine $p^2$, e sia $\zeta G$ il suo centro. Siccome $G$ e' un $p$-gruppo finito e $G \ne 1$, deve essere $\zeta G \ne 1$, per cui $\zeta G$ ha ordine $p$ o $p^2$. Nel secondo caso si ha $\zeta G = G$, e $G$ e' banalmente abeliano. Se invece $\zeta G$ ha ordine $p$, il quoziente $G / {\zeta G}$ ha ordine $p$ e quindi e' ciclico. Pertanto $G$ e' abeliano.
Purtroppo da $p^3$ in poi il teorema non vale.
Come interessante esercizio, per chi vuole, elencare tutti i gruppi di ordine 8 (a meno di isomorfismi, s'intende!).