Teorema di Ruffini - Abel

[GBX1]

Grazie a Hydro e a Martino per le loro risposte. Dalle quali deduco che la risolubilità per radicali di un polinomio f(x) di grado n >= 5 deve essere studiata caso per caso. Infatti:
1. se i coefficienti del suddetto polinomio sono algebricamente indipendenti, allora si applica il teorema di Ruffini-Abel e quindi la risposta è un NO! categorico; ossia:
(coefficienti algebricamente indipendenti) $ rArr $ applicabilità del teorema $ rArr $ no soluzione per radicali
2. se i coefficienti del suddetto polinomio sono invece algebricamente dipendenti (e mi par di capire che la stragrande maggioranza dei polinomi di uso e di interesse comune ricada in questa categoria) allora il teorema di Ruffini-Abel non si può applicare, ma ciò non implica che il polinomio sia risolubile per radicali (si cadrebbe nell'errore logico della negazione dell'antecedente, da cui non si deduce le negazione del conseguente).
Alla fine della fiera mi sembra che 'sto teorema di Ruffini-Abel lasci un po' il tempo che trova.

[Martino]

Mi sembra che tu abbia un po' frainteso l'importanza del risultato. Quando scrivi che le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ sono date dalla formula \( \displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) ovviamente questo vale per ogni scelta di $a,b,c$ (con $a ne 0$). In altre parole, perché la formula risolutiva abbia senso, i coefficienti $a,b,c$ devono essere considerati come elementi indipendenti, non può esistere nessuna relazione tra loro in partenza. Per esempio se la formula valesse solo sotto l'ipotesi $2a+b^2-c^3=0$ allora è chiaro che non sarebbe una formula risolutiva dell'equazione generica di grado $2$, perché varrebbe solo in determinate condizioni. Per dire che la formula invece vale per ogni $a,b,c$ la formalizzazione corretta è dire che $a,b,c$ sono algebricamente indipendenti, cioè non esiste nessuna relazione (algebrica) tra di loro.

Questo è per dire che la formula risolutiva di un'equazione polinomiale $a_0+a_1x+...+a_nx^n=0$ deve valere per qualsiasi scelta dei coefficienti $a_i$ e in tutta generalità, e una formula risolutiva che vale solo date certe condizioni (relazioni tra i coefficienti) di fatto non sarebbe una formula risolutiva. L'esistenza di una formula risolutiva di un polinomio $f(x) in QQ[X]$ dipende dal polinomio e non solo dal suo grado (per esempio $x^5=0$ ammette la formula risolutiva $x=0$), ed è ovvio che se tu fissi un grado $n$, l'esistenza di una formula risolutiva che funzioni per ogni polinomio di grado $n$ dipende solo dal grado.

Per riassumere, se non ti piace l'utilizzo dell'indipendenza algebrica, il teorema può essere formulato così: dato un numero naturale $n$, esiste una formula risolutiva che vale per ogni polinomio di grado $n$ se e solo se $n <= 4$.

Questo significa che se $n >= 5$, qualsiasi formula che provi a scrivere (che coinvolga solo operazioni di campo e radici) candidata ad essere la formula risolutiva dei polinomi di grado $n$, in realtà risolverà alcune equazioni polinomiali di grado $n$ ma non tutte, cioè qualsiasi formula scrivi esisterà almeno un'equazione di grado $n$ non risolta da tale formula.

[hydro]

In pratica stai chiedendo la cosa seguente: se ho un polinomio $P(x) in QQ[x]$, come faccio a capire se è risolubile per radicali? Questa è una domanda molto difficile, oserei dire che è un problema aperto. Dovresti costruire un algoritmo che decide (in output) la risolubilità del gruppo di Galois dati (in input) i coefficienti del polinomio.

Dai non esageriamo Calcolare i gruppi di Galois su $QQ$ a partire dai coefficienti è un processo piuttosto agevole; verificare se un gruppo di Galois è risolubile o meno non so quanto sia agevole ma sicuramente un algoritmo esiste: trovi tutti i sottogruppi e provi tutte le possibilità. E' un calcolo tedioso ma finito.

[Martino]

Sì ok non mi sono espresso bene, diciamo allora che l'algoritmo "forza bruta" risolve il problema, stavo pensando a qualcosa di diverso, tipo esistono algoritmi che decidono la risolubilità in tempo polinomiale (rispetto al grado)?

[GBX1]

In altre parole, perché la formula risolutiva abbia senso, i coefficienti a,b,c devono essere considerati come elementi indipendenti, non può esistere nessuna relazione tra loro in partenza. Per esempio se la formula valesse solo sotto l'ipotesi 2a+b2−c3=0 allora è chiaro che non sarebbe una formula risolutiva dell'equazione generica di grado 2, perché varrebbe solo in determinate condizioni. Per dire che la formula invece vale per ogni a,b,c la formalizzazione corretta è dire che a,b,c sono algebricamente indipendenti, cioè non esiste nessuna relazione (algebrica) tra di loro.

Beh, una relazione di dipendenza lineare tra i coefficienti di un polinomio di grado n esiste sempre.
Se $ f(x)=a_0x^n + a_1x^(n-1)+...+a_(n-1)x+a_n $ è il polinomio in questione, con i coefficienti appartenenti ad un campo (p. es. $ QQ $ ), si possono sempre trovare dei numeri $ lambda _0,lambda _1,...,lambda _nin QQ $ tali che $ lambda _0a_0+lambda _1a_1+...+lambda _na_n=0 $ .

[Martino]

Non ci siamo capiti. Se io prendo un polinomio fissato $f(x)$, con coefficienti razionali, non ha nemmeno senso chiedersi se i coefficienti siano legati da una relazione algebrica. Chiedersi se i numeri $1,5,8$ sono legati da una relazione algebrica non ha proprio senso, o meglio può avere senso ma è una domanda banale: sono numeri razionali, certo che sono legati da una relazione algebrica. Quando diciamo che $a,b,c$ sono algebricamente indipendenti stiamo dicendo che non esiste nessun polinomio non nullo $P(x,y,z)$ con coefficienti razionali tale che $P(a,b,c)=0$ (e ovviamente se $a,b,c$ sono razionali questo $P$ esiste, per esempio basta prendere $P(x,y,z) = x+y+z-a-b-c$).

Osserva che un'ipotetica versione del teorema di Abel - Ruffini in cui i coefficienti siano razionali non può valere, perché ovviamente la risolubilità di un polinomio dipende dai suoi coefficienti (in particolare, dipende dalle relazioni algebriche tra i coefficienti).

Ti ripeto che una versione equivalente del teorema è la seguente: esiste una formula risolutiva delle equazioni polinomiali di grado $n$ che vale per ogni scelta dei coefficienti se e solo se $n <= 4$. L'importanza di una formula risolutiva sta nel fatto che non vale solo per certe scelte dei coefficienti, vale per qualsiasi scelta dei coefficienti, in altre parole la validità della formula non dipende da altre ipotesi che riguardano i coefficienti. Ed è questo che una formula risolutiva deve fare: deve essere applicabile per qualsiasi valore dei coefficienti. Questo fatto viene formalizzato matematicamente chiedendo che i coefficienti (di un'equazione generica di grado $n$) siano algebricamente indipendenti.

[GBX1]

Grazie Martino per la risposta.

[GBX1]

Al termine di questa lunga ed interessante discussione sul teorema di Ruffini-Abel, sarei grato se qualcuno mi fornisse un esempio concreto di polinomio di grado n=5, a cui si applichi il suddetto teorema, ossia tale che non sia risolubile per radicali.
Per esempio concreto io intendo un polinomio, con i coefficienti $ a_i $, algebricamente indipendenti, espressi sotto forma numerica. Altrimenti tutto l'argomento rimane un po' nel vago. Grazie.

[hydro]

Al termine di questa lunga ed interessante discussione sul teorema di Ruffini-Abel, sarei grato se qualcuno mi fornisse un esempio concreto di polinomio di grado n=5, a cui si applichi il suddetto teorema, ossia tale che non sia risolubile per radicali.
Per esempio concreto io intendo un polinomio, con i coefficienti $ a_i $, algebricamente indipendenti, espressi sotto forma numerica. Altrimenti tutto l'argomento rimane un po' nel vago. Grazie.

Nulla di più semplice: $x^5+t_4x^4+t_3x^3+t_2x^2+t_1x+t_0$, visto come polinomio sul campo di funzioni in 5 indeterminate $\mathbb Q(t_0,t_1,t_2,t_3,t_4,t_5)$.

[Martino]

Quoto hydro. Quando costruisci il campo delle funzioni di cui parla, le variabili sono algebricamente indipendenti per costruzione.

Aggiungo che mi sembra che quello che stai cercando è un esempio di $n$ numeri reali che sono algebricamente indipendenti su $QQ$ (per $n$ qualsiasi). Se è questo che ti interessa, vedi qui.