da Stickelberger » 26/11/2019, 18:02
Per $n$ dispari, la mappa canonica $U( ZZ_{2n})\rightarrow U(ZZ_n)$
e’ un isomorfismo.
Se $n$ e’ potenza di un primo $p>2$, allora $U(ZZ_{n})$ e’ ciclico.
La $p$-parte di $U(ZZ_{n})$ e’ generato da un qualsiasi intero
congruo a $1$ mod $p$, ma non congruo a $1$ mod $p^2$.
La non-$p$-parte di $U(ZZ_{n})$ e' isomorfo al gruppo
ciclico $U(ZZ_p)$ (via la mappa canonica).
Quindi, se $n$ e’ potenza di un primo $p>2$, allora $g$
genera $U(ZZ_n)$ se e solo se $g$ mod $p$ genera $U(ZZ_p)$ e
$g^{p-1}$ non e’ congruo a $1$ modulo $p^2$.
In questo caso, $g=3$ genera $ZZ_5$, e $3^4=81$ non e'
congruo a $1$ mod $25$. Ne segue che $g=3$ genera $U(ZZ_{25})$
e quindi anche $U(ZZ_{50})$.