[Abstract nonsense] Prodotto...

[kaspar]

Esercizio 4. Tanto per dare un altro sguardo al limite: che proprietà può avere il prodotto tra insiemi \(\displaystyle\prod_{i \in I} X_i\)? (Sicuramente intuirete cosa voglio...)

Mmmhhh... voglio provarci. Guardando lo stile di queste dicussioni che vanno sotto il titolo di "abstract nonsense" provo a fare questo esercizio. Se sbaglio, ci ho almeno provato. Vediamo se ho capito cosa intendi.

Sia \((X_i)_{i \in I}\) una famiglia di insiemi. L'oggetto (che in questo caso è un insieme) \(\prod_{j \in I} X_j\) è dotato di funzioni \[f_i : \prod_{j \in I} X_j \to X_i\] che manda una tupla \((x_0, ..., x_i, ..., x_n)\) in \(x_i\). Cercando di emulare quanto fatto in apertura: per ogni insieme \(C\) e funzione \(f_i : C \to X_i\) esiste un'unica funzione \(h : C \to \prod_{j \in I} X_j\) tale che il seguente diagramma commuti:

Ha senso?

[solaàl]

Sì, certo; adesso prova a usare la proprietà universale per dimostrare che le proiezioni dal prodotto sono una famiglia di funzioni congiuntamente iniettiva.

Più precisamente, se \(\big( \prod_{i\in J}X_i, \{p_i\}_{i\in I} \big)\) è la coppia prodotto-proiezioni sui fattori, allora per ogni \(h,k : C \to \prod_{i\in I} X_i\), se per ogni \(i\in I\) si ha \(p_i h = p_i k\), allora \(h=k\).

[kaspar]

C'è scritto nella proprietà universale, mi sembra: l'unicità di \(h\) del mio precedente post.

[solaàl]

Va bene, allora caratterizza i prodotti in queste categorie:

1. Un insieme \(P\) parzialmente ordinato, che viene guardato come una categoria.
2. La categoria degli insiemi parzialmente ordinati e mappe monotone.
3. La categoria degli insiemi puntati, i cui oggetti sono le coppie \((X,x)\) dove \(x\in X\) e i morfismi sono le funzioni che "rispettano il punto", \(f : (X,x) \to (Y,y)\) è tale che \(f(x)=y\).
4. La categoria degli anelli unitari (i morfismi ovviamente sono gli omomorfismi di anelli, che preservano l'identità)
5. La categoria dei grafi, e delle mappe di grafo (bonus per i curiosi: se \(G\) ha matrice di adiacenza \(A_G\), e \(H\) ha matrice di adiacenza \(A_H\), che matrice ha il grafo prodotto \(G\times H\)?)
6. La categoria delle categorie, in cui i morfismi sono i funtori.
7. La categoria delle varietà differenziabili di classe \(C^k\), per \(k\ge 1\).
8. La categoria dei funtori \(F : \text{Set}\to \text{Set}\), dove i morfismi sono le trasformazioni naturali \(\alpha : F \Rightarrow G\).
9. La categoria \(\text{Set}/X\) i cui oggetti sono le funzioni con codominio \(X\), e i cui morfismi sono opportuni triangoli commutativi tra funzioni di codominio \(X\).
10. La categoria \(Y/\text{Set}\) i cui oggetti sono le funzioni con dominio \(Y\). Che relazione c'è con la categoria di prima?
11. Le categorie \(\mathcal{C}/C\) e \(C/\mathcal{C}\), definite nella stessa maniera a partire da una categoria qualsiasi di nome \(\mathcal C\).
12. La categoria i cui oggetti sono gli spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di funzioni continue tra due spazi topologici.
13. Dato un insieme \(S\), la categoria \(c(S)\) che si chiama il "gruppoide caotico" su \(S\) ha per oggetti gli elementi di \(S\), e per morfismi tra \(s,s'\) una e una sola freccia, che quindi è obbligata a essere un isomorfismo; \(c(S)\) a prodotti? Se sì, come caratterizzarli?