jinsang ha scritto:Per prima cosa è conveniente scegliere sempre $[1]_n$ come generatore per \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \), perché i calcoli sono più semplici.
Capisco, dunque non è necessario "analizzare" più generatori per trovare tutti gli omomorfismi ma posso sempre studiare solo quello più semplice quindi $ [1]_n $?
jinsang ha scritto:Come hai giustamente osservato, non tutte le scelte dell'immagine portano a qualcosa di ben definito.
Prendiamo l'esempio che hai fatto te, ovvero \( f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) facendo la scelta \( f([5]_{12})=[7]_8 \). Il fatto è che in questo modo non definisci nemmeno una funzione, perché quanto vale $f([0]_12)$? Se scrivo $[0]_12=[12*5]_12$ ottengo $f([0]_12)=...$ ma se scrivo $[0]_12=[24*5]_12$ ottengo ... (completa tu).
In generale, quando si definisce qualcosa (in questo caso una funzione), bisogna verificare che ciò che abbiamo definito sia "consistente", cioè ci poniamo il problema della buona definizione.
Nel caso in questione dobbiamo verificare che $f([X]_12)$ non dipende dal rappresentante che scelgo per $[X]_12$, cioè per esempio che $...=f([-12]_12)=f([0]_12)=f([12]_12)=f([24]_12)=...$, stessa cosa per le altre classi.
Rifletti intanto su queste cose qui
È chiaro... In pratica quindi la relazione che ottengo a partire da $ f([5]_12)=[7]_8 $ non è una funzione quindi non può essere omomorfismo... Dunque per riassumere: partendo ad esempio da $ f([1]_12)=[2]_8 $ e costruendo così tutte le altre immagini ottengo un omomorfismo che, "guarda caso", ha la legge $ f([X]_12)=[2X]_8 $. Partendo invece, non so, da $ f([1]_12)=[3]_8 $ avrei una legge del tipo $ f([X]_12)=[3X]_8 $ ma questa non è una funzione ben definita quindi non è omomorfismo, e così via. È corretto?
