Normalizzatore isomorfo agli automorfismi G-equivarianti

[3m0o]

Sia \( H \) un sottogruppo di \( G \). Dimostra che abbiamo un isomorfismo di gruppi
\( \operatorname{Aut}_G(G / H) \cong N_G(H)/H \) dove \( \operatorname{Aut}_G(G / H) \) è il gruppo degli automorfismi \(G\)-equivarianti di \(G / H \) mentre \(N_G(H) \) è il normalizzatore di \( H \) in \(G \).
Non capisco una parte delle soluzioni, le altre sono apposto!

Deiniamo \( \phi : N_G(H) \to \operatorname{Aut}_G(G / H) \) per \( \phi(g): G / H \to G/H \), \( x H \mapsto xg^{-1} H \) per tutti i \( g \in N_G(H) \).
Abbiamo che per ogni \( g \in N_G(H) \), \( \phi(g) \) è un automorfismo \(G\)-equivariante infatti per ogni \(h \in G \) risulta che
\( \phi(g)(hxH)=(hx)g^{-1}H = h xg^{-1}H = h \cdot \phi(g)(xH) \)
Inoltre è chiaramente suriettivo ed è iniettivo poiché dati \( x,y \in G \) tali che
\( \phi(g)(xH)=\phi(g)(yH) \) abbiamo che \( xg^{-1}H=yg^{-1}H \) e dunque esiste \( h \in H \) tale per cui
\( xg^{-1} = yg^{-1}h \) detto altrimenti \( x = yg^{-1}hg \) e poiché \( g \in N_G(H) \) abbiamo che
\( xH=yH \).
Dunque \( \phi(g) \) è un isomorfismo.

La parte che non capisco:
Ora per dimostrare che dato un automorfismo \(G \) equivariante \( f : G / H \to G/ H \), esiste un \( g \in N_G(H) \) tale che \(f = \phi(g) \), le soluzioni suppongono che \(f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in G \) tale che \( gHg^{-1}=H \) e concludono che \( f=\phi(g) \).
Ma come fa a dire che tutti gli automorfismi \(G\)-equivarianti di \(G / H \) sono della forma \(f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in N_G(H) \) ? Io avrei detto che \( f(g \cdot xH) = g \cdot f(xH) \) per ogni \( g \in G \).


Così posso dire che \( \phi \) è suriettiva. Ora dimostriamo \( \phi \) è omomorfismo di gruppi
Siano \( g,k \in N_G(H) \) abbiamo che
\( \phi(gk)(xH) = xk^{-1}g^{1}H=\phi(g)(xk^{-1}H) = \phi(g)(\phi(k)(xH)) \)
pertanto \( \phi(gk)=\phi(g) \circ \phi(k) \)
Inoltre abbiamo che \( \ker(\phi) = H \) infatti se \( h \in H \) allora chiaramente che \( \phi(h)(xH)=xH \)
dunque \( \phi(h) = id_{G /H} \).
Ora se \( h \in \ker(\phi ) \) abbiamo che \( \phi(h) (xH)= id_{G /H} (xH)= xh^{-1}H = xH \) dunque \( h \in H \)
Per il primo teorema di isomorfismo concludiamo dunque che \( N_G(H) / H \cong \operatorname{Aut}_G(G / H) \)

[Martino]

Ciao, il testo non ha senso, $G//H$ non è un gruppo se $H$ non è normale in $G$. Cosa intendi per $G//H$?

[Martino]

Ho capito, probabilmente per $Aut_G(G//H)$ intendi il gruppo delle biiezioni $G//H to G//H$ che sono $G$-equivarianti, dove $G//H$ è semplicemente l'insieme delle classi laterali sinistre di $H$ in $G$. È così?

[3m0o]

Ciao, il testo non ha senso, $G//H$ non è un gruppo se $H$ non è normale in $G$. Cosa intendi per $G//H$?

Sai che non ci avevo fatto caso... ci sono due possibiltà o la prof si è dimenticata di scrivere \( H \) normale.
Oppure più probabile intende il gruppo delle biiezioni \( G / H \to G / H \), \(G \) equivarianti e considera \( G/ H \) come un \(G \) insieme.
La dimostrazione è quella delle soluzioni della prof, però mi viene il dubbio perché dice \( \phi(g) \) isomorfismo oppure ancora automorfismo.
Tant'è che il punto precedente dello stesso esercizio è:
Siano \( H_1 ,H_2 \) due sotto gruppi di \(G \). Dimostra che \( H_1 \) e \(H_2 \) sono cogniugati se e solo se esiste una biiezione \(G\)-equivariante \(G / H_1 \to G / H_2 \).

[Martino]

Sicuramente intende biiezioni equivarianti come ho elaborato nel precedente intervento.

Ti sei dimenticato di mostrare che $phi(g)$ è ben definita, cioè che se $xH=yH$ allora $xg^(-1)H=yg^(-1)H$. Prova.

Per mostrare che $phi$ è suriettiva prendi $f$ biiezione $G$-equivariante $G//H to G//H$, allora $f(H)$ è una certa classe laterale $tH$, con $t in G$. Definisci $g=t^(-1)$ e dimostra che $f=phi(g)$. Poi dimostra che $t in N_G(H)$.

[3m0o]

Sicuramente intende biiezioni equivarianti come ho elaborato nel precedente intervento.

Pertanto quando dice che \( \phi(g) \) è isomorfismo/automorfismo intende semplicemente una biiezione, \( G \)-equivariante?
Ma per parlare di \(G\)-equivarianza non bisognerebbe definire un azione di \( G \) su \( G / H \) ?

Ti sei dimenticato di mostrare che $ phi(g) $ è ben definita, cioè che se $ xH=yH $ allora $ xg^(-1)H=yg^(-1)H $. Prova.

Beh se \( xH=yH \) allora abbiamo che esiste \( h \in H \) tale che \( x=yh \) ora posto
\( \phi(g)(xH)=xg^{-1}H = yhg^{-1}H = yg^{-1}ghg^{-1}H \) e poiché \( g \in N_G(H) \) abbiamo che \( xg^{-1}H = yg^{-1}H\)

Per mostrare che $ phi $ è suriettiva prendi $ f $ biiezione $ G $-equivariante $ G//H to G//H $, allora $ f(H) $ è una certa classe laterale $ tH $, con $ t in G $. Definisci $ g=t^(-1) $ e dimostra che $ f=phi(g) $. Poi dimostra che $ t in N_G(H) $.

Okay... però come mai le soluzioni dicono semplicemente

dato un automorfismo \( G \) equivariante \( f : G / H \to G/ H \), esiste un \( g \in N_G(H) \) tale che [...] \( f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in G \) tale che \( gHg^{-1}=H \) e dunque \( f=\phi(g) \).

[Martino]

Sicuramente intende biiezioni equivarianti come ho elaborato nel precedente intervento.

Pertanto quando dice che \( \phi(g) \) è isomorfismo/automorfismo intende semplicemente una biiezione, \( G \)-equivariante?
Ma per parlare di \(G\)-equivarianza non bisognerebbe definire un azione di \( G \) su \( G / H \) ?

Certo, ma l'azione è (ovviamente) quella canonica (moltiplicazione a sinistra).

Ti sei dimenticato di mostrare che $ phi(g) $ è ben definita, cioè che se $ xH=yH $ allora $ xg^(-1)H=yg^(-1)H $. Prova.

Beh se \( xH=yH \) allora abbiamo che esiste \( h \in H \) tale che \( x=yh \) ora posto
\( \phi(g)(xH)=xg^{-1}H = yhg^{-1}H = yg^{-1}ghg^{-1}H \) e poiché \( g \in N_G(H) \) abbiamo che \( xg^{-1}H = yg^{-1}H\)

Come vedi non è ovvio perché ti serve usare che $g in N_G(H)$.

Per mostrare che $ phi $ è suriettiva prendi $ f $ biiezione $ G $-equivariante $ G//H to G//H $, allora $ f(H) $ è una certa classe laterale $ tH $, con $ t in G $. Definisci $ g=t^(-1) $ e dimostra che $ f=phi(g) $. Poi dimostra che $ t in N_G(H) $.

Okay... però come mai le soluzioni dicono semplicemente

dato un automorfismo \( G \) equivariante \( f : G / H \to G/ H \), esiste un \( g \in N_G(H) \) tale che [...] \( f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in G \) tale che \( gHg^{-1}=H \) e dunque \( f=\phi(g) \).

A me lo chiedi?

[3m0o]

dato un automorfismo \( G \) equivariante \( f : G / H \to G/ H \), esiste un \( g \in N_G(H) \) tale che [...] \( f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in G \) tale che \( gHg^{-1}=H \) e dunque \( f=\phi(g) \).

A me lo chiedi?

Okay forse ci sono.
Possiamo trovare sempre \( g \in N_G(H) \) tale che \( f(H)=g^{-1}H \).
Infatti possiamo sempre trovare \( g \in G \) tale che \( f(H)=g^{-1}H \) poiché è una biiezione, pertanto
se mostriamo che \( gHg^{-1} = H \) abbiamo dimostrato che un tale \(g \in G \) risulta essere \( g \in N_G(H) \).
Sia pertanto \( h \in H \) siccome \( f \) è \(G\) equivariante abbiamo che \( g^{-1}H=f(H)=f(hH)=hf(H)=hg^{-1}H \)
Pertanto abbiamo che \( ghg^{-1} \in H \) e dunque \( gHg^{-1} \subseteq H \). Consideriamo ora \( f(hgH)=hgg^{-1}H = hH=H=gg^{-1}=f(gH) \)
Pertanto per l'iniettività di \(f \) abbiamo che \( hgH=gH \) e dunque \( g^{-1}hg \in H \) e pertanto \( H \subseteq gHg^{-1} \)
Pertanto \( g H g^{-1} = H \) e dunque \( g \in N_G(H ) \).
Ma allora abbiamo che fissato \( f : G/H \to G/H\) \(G\)-equivariante possiamo trovare \( g \in N_G(H) \) tale che \( f(H)=g^{-1}H \) ma per \(G\)-equivarianza di \(f \) risulta che \( \forall x \in G \), abbiamo \(f(xH)=xf(H)=xg^{-1}H \), e segue che \( f=\phi(g) \).

[Martino]

Esattamente.