Sia \( H \) un sottogruppo di \( G \). Dimostra che abbiamo un isomorfismo di gruppi
\( \operatorname{Aut}_G(G / H) \cong N_G(H)/H \) dove \( \operatorname{Aut}_G(G / H) \) è il gruppo degli automorfismi \(G\)-equivarianti di \(G / H \) mentre \(N_G(H) \) è il normalizzatore di \( H \) in \(G \).
Non capisco una parte delle soluzioni, le altre sono apposto!
Deiniamo \( \phi : N_G(H) \to \operatorname{Aut}_G(G / H) \) per \( \phi(g): G / H \to G/H \), \( x H \mapsto xg^{-1} H \) per tutti i \( g \in N_G(H) \).
Abbiamo che per ogni \( g \in N_G(H) \), \( \phi(g) \) è un automorfismo \(G\)-equivariante infatti per ogni \(h \in G \) risulta che
\( \phi(g)(hxH)=(hx)g^{-1}H = h xg^{-1}H = h \cdot \phi(g)(xH) \)
Inoltre è chiaramente suriettivo ed è iniettivo poiché dati \( x,y \in G \) tali che
\( \phi(g)(xH)=\phi(g)(yH) \) abbiamo che \( xg^{-1}H=yg^{-1}H \) e dunque esiste \( h \in H \) tale per cui
\( xg^{-1} = yg^{-1}h \) detto altrimenti \( x = yg^{-1}hg \) e poiché \( g \in N_G(H) \) abbiamo che
\( xH=yH \).
Dunque \( \phi(g) \) è un isomorfismo.
La parte che non capisco:
Ora per dimostrare che dato un automorfismo \(G \) equivariante \( f : G / H \to G/ H \), esiste un \( g \in N_G(H) \) tale che \(f = \phi(g) \), le soluzioni suppongono che \(f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in G \) tale che \( gHg^{-1}=H \) e concludono che \( f=\phi(g) \).
Ma come fa a dire che tutti gli automorfismi \(G\)-equivarianti di \(G / H \) sono della forma \(f(xH)=xg^{-1}H \) per qualche \( g \in N_G(H) \) ? Io avrei detto che \( f(g \cdot xH) = g \cdot f(xH) \) per ogni \( g \in G \).
Così posso dire che \( \phi \) è suriettiva. Ora dimostriamo \( \phi \) è omomorfismo di gruppi
Siano \( g,k \in N_G(H) \) abbiamo che
\( \phi(gk)(xH) = xk^{-1}g^{1}H=\phi(g)(xk^{-1}H) = \phi(g)(\phi(k)(xH)) \)
pertanto \( \phi(gk)=\phi(g) \circ \phi(k) \)
Inoltre abbiamo che \( \ker(\phi) = H \) infatti se \( h \in H \) allora chiaramente che \( \phi(h)(xH)=xH \)
dunque \( \phi(h) = id_{G /H} \).
Ora se \( h \in \ker(\phi ) \) abbiamo che \( \phi(h) (xH)= id_{G /H} (xH)= xh^{-1}H = xH \) dunque \( h \in H \)
Per il primo teorema di isomorfismo concludiamo dunque che \( N_G(H) / H \cong \operatorname{Aut}_G(G / H) \)