Lemma utile gruppi

[jinsang]

C'è questo lemma sui gruppi che ciclicamente entra ed esce dalla mia testa.
Lo posto qui in forma di esercizio, con la duplice utilità di fornire un riferimento al me del futuro e lasciare a chi vuole esercitarsi del materiale .

LEMMA
Sia $G$ gruppo¹, $H<G$ sottogruppo con $[G:H]=j$.
Dimostrare che esiste \( N \lhd G \) tale che $j<=[G:N]<=j!$.
Più precisamente $j|[G:N]$ e $[G:N]|j!$.
Inoltre naturalmente $[G:N]| o(G)$ nel caso in cui $G$ ha ordine finito.
Hint:

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Far agire $G$ sulle classi laterali di $H$ per moltiplicazione.
$N$ è il nucleo di tale azione.

Osservazione: la dimostrazione suggerita individua il sottogruppo $N$ che è il più grande tra i sottogruppi normali di $G$ contenuti in $H$.
Ovvero \( \forall \ \ K \lhd G \) tale che $K subset H$ vale che $K subset N$.


Per la stima dal basso dell'indice di $N$ in $G$ nel LEMMA può tornare utile² il seguente:
lemma
Sia $G$ gruppo, $X$ insieme finito di cardinalità $n$, \( \alpha : G \rightarrow \mathfrak{S}(X) \) un'azione transitiva.
Allora \( n \ \ | \ \ o(\alpha(G)) \) e quindi \( n \ \ | \ \ o(G/ \ker \alpha) = [ G : \ker \alpha ] \).
Hint:

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\( \mathfrak{S}(X) \simeq S_n \) quindi mi basta mostrare che $(12...n) \in \alpha(G)$.
Poiché l'azione è transitiva ho che $ (12), (13), ... , (1n) \in \alpha(G) $ quindi...

applicazioni

1.Ogni sottogruppo di indice $2$ è normale (questo fatto ha anche dimostrazioni molto più semplici).

2.Sia $G$ gruppo finito, sia $p$ il più piccolo primo che divide $o(G)$.
Se $G$ ha un sottogruppo $H$ di indice $p$ allora $H$ è normale.

3.Sia $G$ gruppo finito $o(G)=p^s m$ con $(p,m)=1$.
Se $p>m$ allora il p-Sylow è normale. (Si poteva dire anche con i teoremi di Sylow)

4. Se $G$ è un gruppo finito semplice, allora ogni sottogruppo $H<G$ è tale che $o(G) \ \ | \ \ [G:H]!$.

esercizio
Determinare il minimo $n$ per cui $S_n$ ammette un sottogruppo di ordine $144$.
Hint:

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I casi fino a $n=5$ si escludono subito.
Usare il LEMMA per escludere il caso $n=6$.
Per il caso $n=7$ essere creativi (qui si trova).

Se qualcuno ha osservazioni/precisazioni/correzioni/generalizzazioni me lo faccia presente!
Anche perché sono andato un po' a braccio, non ho controllato tutti i passaggi.

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Note

1. Non necessariamente finito, anche se poi il LEMMA lo uso praticamente solo nel caso finito. ↑
2. Ma non indispensabile, per esempio si potrebbe usare l'osservazione in coda al LEMMA per quel punto. ↑

[solaàl]

\(G\) agisce naturalmente a sinistra sull'insieme dei laterali sinistri \(\{xH\mid x\in G\}\), e il gruppo delle permutazioni di \(G/H\) ha cardinalità \(j!\), dove \(j = [G:H]\).

Otteniamo allora un omomorfismo di gruppi \(\rho : G \to \mathfrak S(G/H)\).

Il suo nucleo è \(N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}\) (proof e caratterizzazione come nocciolo (?) normale di \(H\)), e questo sottogruppo ha indice
\[
[G:N]=[G:H]\cdot [H:N] = j\cdot [H:N]
\]Questo dimostra uno dei due claim.

Resta da vedere che \([G:N]\) divide \(j!\); del resto \(N\) è normale, e l'omomorfismo \(\rho : G/N \to \mathfrak S(G/H)\) è iniettivo; l'immagine, allora, deve essere un sottogruppo di \(\mathfrak S(G/H)\), e per il teorema di Lagrangia il suo ordine deve dividere \(\#\mathfrak S(G/H)=j!\)

[jinsang]

Yess

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