solaàl ha scritto:Ho semplicemente chiamato in un altro modo quello che tu chiami \(Y^\phi\) e \(G\times_\phi X\), li ho ribattezzati \(\varphi^*Y\) e \(\varphi_! X\). Come avrai notato, per dimostrare questo fatto è vitale stabilire una notazione intelligente. Questa non è la più intelligente, ma è quella che solitamente si usa.
Questo è quello che ti ho proposto, notazione intelligente; gli strumenti necessari per dimostrare quel che ti ho detto sono proprio i mezzi che hai, e non ti sto portando fuori strada: questo fatto si dimostra così, puoi derivarlo dai massimi sistemi o fare un conto molto esplicito (ed espl..osivo), ma l'idea è identica.
Adesso provo a risponderti meglio, comunque.
In tal caso mi scuso di aver frainteso il tuo messaggio precedente, e ti ringrazio infinitamente per la risposta e la spiegazione più che esaustiva. Davvero grazie!
Sulle notazioni sì sono proprio brutte ma sono le notazioni della mia professoressa e io mi ci perdo ma devo imparare ad usarle ecco. Detto ciò
solaàl ha scritto:2. Ad ogni \( G \)-insieme \( X \) si associa un \( G' \)-insieme \( G'\times_\varphi X \) (io preferisco chiamarlo \( G'\otimes_G X \)), definito così (un insieme è un supporto, e una funzione che fa da azione):
2.a. Il supporto è definito a partire dal prodotto cartesiano \( G'\times X \) delle coppie \( (g',x) \): l'azione di \( G \) su \( G' \) va coequalizzata all'azione di \( G \) su \( X \), ossia si deve prendere l'insieme delle classi di equivalenza delle coppie \( (g',x) \) rispetto alla relazione di equivalenza generata da \( (g'.g,x)\sim (g', g.x) \). Ciò significa che stai facendo un "prodotto tensore" di due azioni, identificando l'azione a destra di \( G \) su \( G' \) e l'azione a sinistra di \( G \) su \( X \) in un unico elemento \( g'.g\otimes x = g'\otimes g.x \).
2.b. L'azione è definita dalla proiezione canonica \( \pi : G'\times_\varphi X \to X \), ottenuta mandando \( g.(g',x) \) nella classe di equivalenza di \( (g.g',x) \), che è la stessa di \( (g', g.x) \); nota che la definizione di \( G'\times_\varphi X \) come quoziente pone su questa azione una certa condizione, che giocherà un ruolo nel dimostrare che le mappe sono equivarianti.
Questa cosa non mi è chiarissima, nel senso che
Se \( X \) è un \(G \) insieme e considero il \(G' \) insieme dato da \( G' \times_{\phi} X \) e lo definisco ora (perché prima mi sono dimenticato come hai detto) è il quoziente di \( G' \times X \) per la relazione di equivalenza \( (g',g \cdot x) = (g' \phi(g), x) \) per tutti i \( g \in G \) e \( g' \in G' \) e \( x \in X \).
E dove \( G' \) agisce su \( G' \times_{\phi} X \) per moltiplicazione a sinistra nella prima componente.
Allora se ho un \( h' \in G' \) allora \( h' \cdot (g',x) = (h' g' ,x) \) ma chi mi assicura che \( \phi \) è suriettivo?
-Non posso dire che esiste un \( g \in G \) tale che \( \phi(g) = g' \) e quindi avere \( (h' g' ,x) = (h' \phi(g) ,x)=(h',g \cdot x) \) ?
- Secondariamente se ho \( u : X \to X' \) \(G\)-equivariante come nell'enunciato b) e considero \( \overline{u} \) non vedo come la \(G\)-equivarianza gioca nel ruolo della \(G'\)-equivarianza di \(\overline{u} \)
Tant'è che per ogni \( g' ,h' \in G' \) e per ogni \(x \in X \) allora
\( \overline{u}( h' \cdot (g',x)) = \overline{u}( (h'g',x)) = (h'g',u(x)) = h' \cdot (g',u(x)) = h' \cdot \overline{u}( (g',x)) \)
Non ho mai "toccato" la componente \( u \) e quindi non mi sono mai preoccupato della sua \(G \) equivarianza, se prendo una qualunque funzione \( u \) non \(G\) equivariante tra \( X \to X' \) allora la stessa definizione di \( \overline{u} \) è \(G' \) equivariante, no?
Veniamo al punto c)
\( \epsilon_Y : ( G' \times_{\phi} {}^\phi Y) \to Y \) definendola come \( (g',y ) \mapsto g' \cdot y \)
Voglio dimostrare che è effettivamente \(G'\) equivariante.
Pertanto \(\forall h' \in G' \) abbiamo che
\[ \epsilon_Y(h' \cdot (g',y) )= \epsilon_Y((h'g',y) )=(h'g') \cdot y = h' \cdot (g' \cdot y) = h' \cdot \epsilon_Y((g',y) ) \]
\( \eta_X : X \to {}^\phi \left( G' \times_{\phi} X \right) \) definendola come \( x \mapsto (e',x) \)
Voglio dimostrare che è effettivamente \(G\) equivariante.
Pertanto \(\forall g \in G \) abbiamo che
\[ \eta_X(g \cdot x)= (e',g \cdot x) = (e' \phi(g), x) = (\phi(g)e', x)=\phi(g) \cdot (e',x)= g \ast (e',x) = g \ast \eta_X(x) \]
Inoltre vediamo se sono bene definite \( \Phi \) e \( \Psi \) in questo modo
Se prendiamo \( u : X \to {}^\phi Y \), una funzione \(G \) equivariante tra due \(G \) insiemi abbiamo che
\( u \mapsto \Phi(u) : G' \times_{\phi} X \to Y \) dovrebbe essere una funzione \(G'\) equivariante tra due \(G'\) insiemi.
Pertanto definiamo
\( \Phi(u)(g',x) = g' \cdot u(x) \).
Ma c'è un problema per come l'ho definita infatti \( u(x) \) è in \( {}^\phi Y \) e pertanto dovrebbe essere un \(G \) insieme ma io gli sto facendo agire un elemento di \(g' \), a meno che io non considero \( u(x) \in Y \) invece che \( u(x) \in {}^\phi Y \) .
Abbiamo per ogni \( g' , h' \in G' \) e \( x \in X \) allora
\( \Phi(u)(h' \cdot (g',x)) = \Phi(u)((h'g',x)) = h'g' \cdot u(x) = h' \cdot \Phi(u)(g',x) \).
Ed è ben definita poiché per ogni \(g' \in G' \), \(g \in G \) e \(x \in X \) abbiamo
\( \Phi(u)((g'\phi(g),x)) =g' \phi(g) \cdot u(x)=g' \cdot( \phi(g) \ast u(x)) = g' \cdot u(g \ast x) = \Phi(u)(g',g \ast x) \).
Se prendiamo \( v : G' \times_{\phi} X \to Y \), una funzione \(G' \) equivariante tra due \(G' \) insiemi abbiamo che
\( v \mapsto \Psi(v) : X \to {}^\phi Y\) dovrebbe essere una funzione \(G\) equivariante tra due \(G\) insiemi.
Pertanto definiamo
\( \Psi(v)(x) = v((e',x)) \).
Nuovamente un piccolo problema per come l'ho definita infatti \( v((e',x)) \in Y \) e che dovrebbe essere un \(G' \) insieme ma io "cadendo" in \({}^\phi Y \) che è un \(G\) insieme.
Verifico che è \(G\) equivariante e quindi per ogni \(g \in G \) e \(x \in X \) abbiamo che
\[ \Psi(v)(g \cdot x) = {}^\phi v ((e',g \cdot x)) = v((\phi(g),x)) = \phi(g) v((e',x)) = g \ast \Psi(v)(x) \]
Non ho molto capito i tuoi punti 5. e 6. onestamente. Ma per quanto riguarda provare le identità ci provo
\[ \Psi ( \Phi (u) ) (x) = \Phi(u) (e',x) = e' \cdot u(x) = u(x) \]
\[ \Phi ( \Psi (v) ) (g',x) = g'\cdot \Psi(v) (x) = g' \cdot v((e',x)) = v(g' \cdot (e',x))=v((g',x)) \]
![\xymatrix{
X \ar[r]^-\eta\ar[d]_u&( G^\prime \times_{\varphi} X )^\varphi \ar[d]^{(G^\prime \times_\varphi u)^\varphi}\\
X^\prime \ar[r]_-\eta & ( G^\prime \times_{\varphi} X^\prime)^\varphi
}](/forum/latexrender/pictures/7361d320e30710444ae4ff0d55cf8509.png "\xymatrix{
X \ar[r]^-\eta\ar[d]_u&( G^\prime \times_{\varphi} X )^\varphi \ar[d]^{(G^\prime \times_\varphi u)^\varphi}\\
X^\prime \ar[r]_-\eta & ( G^\prime \times_{\varphi} X^\prime)^\varphi
}")
![\xymatrix{
G^\prime\times_{\varphi} Y^\varphi \ar[r]^-{\epsilon_Y}\ar[d]_{G^\prime\times_\varphi v^\pi} & Y \ar[d]^v\\
G^\prime \times_{\varphi} Y^\prime{}^\varphi \ar[r]_-{\epsilon_{Y^\prime}} & Y^\prime
}](/forum/latexrender/pictures/4badf1f2ee9916462ef145218a3fed47.png "\xymatrix{
G^\prime\times_{\varphi} Y^\varphi \ar[r]^-{\epsilon_Y}\ar[d]_{G^\prime\times_\varphi v^\pi} & Y \ar[d]^v\\
G^\prime \times_{\varphi} Y^\prime{}^\varphi \ar[r]_-{\epsilon_{Y^\prime}} & Y^\prime
}")
![\xymatrix{
\coprod_{g\in G} G^\prime\times Y^\varphi \ar@<5pt>[r]^-{\_\, .g\times 1}\ar@<-5pt>[r]_-{1\times g.\_}& G^\prime\times Y^\varphi \ar[r]\ar[d]^\alpha & G^\prime\times_\varphi Y^\varphi\ar@{.>}[dl]^\epsilon \\
& Y
}](/forum/latexrender/pictures/397313b7a30a5b1cff63125959e18bbe.png "\xymatrix{
\coprod_{g\in G} G^\prime\times Y^\varphi \ar@<5pt>[r]^-{\_\, .g\times 1}\ar@<-5pt>[r]_-{1\times g.\_}& G^\prime\times Y^\varphi \ar[r]\ar[d]^\alpha & G^\prime\times_\varphi Y^\varphi\ar@{.>}[dl]^\epsilon \\
& Y
}")
