Aiuto piccolo teorema di Fermat

[BIGsmoog]

Salve a tutti, ho cercato a lungo sulla rete ma non trovo niente che possa aiutarmi, spero che qualcuno sotto ci riesca.
Non riesco a capire una dimostrazione per il mio esame di Discreta, probabilmente sarà una cosa banale ma non ci arrivo proprio.
Il teorema è il piccolo teorema di Fermat e questa è la dimostrazione:
Se MCD(a, p) = 1 => [a] (modp) appartiente a U(Zp) "Elementi invertibili di Zp", la quale dimensione è p-1.
=> [a]^p-1 (modp) = [1] (modp) <- è la parte che non capisco, come mai la classe di a elevata a p-1 è uguale a classe di 1?
Ringrazio in anticipo per le risposte e spero di essermi spiegato nella maniera più corretta.

[mario9555]

Perchè $(U(ZZ_p),*)$ è un gruppo finito di ordine $p-1$, e quindi ogni suo elemento elevato alla $p-1$ è uguale $[1]_p$.

Il teorema che viene utilizzato è il seguente:

Sia $G$ un gruppo finito di ordine $m$. Allora $G$ è periodico, e qualunque sia l'elemento $x$ di $G$, risulta $x^m=1$.

Dim: Ovviamente il sottogruppo generato da $x$, cioè $<x>$ è finito, e per il teorema di Lagrange , il suo ordine $k$ divide $m$, per cui $m=kq, q in ZZ,q>0$. Allora $x^m=(x^(kq))=(x^k)^q=1$

[BIGsmoog]

Ti ringrazio moltissimo.