(Chiedo scusa, ma essendo un nuovo iscritto non ho ancora imparato ad inserire le formule)
Gli endomorfismi sono applicazioni di spazi vettoriali in se stesso, quindi la dimensione del dominio e del dominio coincidono.
Un endomorfismo non suriettivo è un endomorfismo il cui nucleo è diverso dal solo vettore nullo.
Sei in questa situazione:
\(\displaystyle V spazio vettoriale, dimV=n
f: V ---->V endomorfismo \)
Per il teorema del nucleo e dell'immagine
\(\displaystyle dim(V)=dimKer(f)+dimIm(f) \)
Quindi \(\displaystyle n= dimKer(f)+dim(f) \)
Per un'altra proprietà, sai che se la
dimensione dell'immagine e la dimensione del codominio sono uguali allora l'applicazione è suriettiva, ma (f endomorfismo) dimCodominio=n=dimV
Osservando la formula, noterai che quando dimKer(f)=0 allora dimIm(f) deve essere necessariamente uguale ad n, quindi f è un endomorfismo suriettivo
Quando dimKer(f)>0 allora dim(f) sarà sicuramente minore di n e per la proprietà che ti ho sottolineato f non sarà suriettiva