Ieri all esame di teoria dei gruppi c'era questa domanda:
Sia \( S_5 \) il gruppo simmetrico su cinque lettere e \( P \) un suo \(p\)-sottogruppo di Sylow. Sia \( N_{S_5}(P) := \{ g \in S_5 : gPg^{-1} = P \}\) il normalizzatore di \(P \), il normalizzatore di \(P\) può essere di cardinalità dispari?
Io sono arrivato ad escludere tutte le possibilità tranne una. Indicando con \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) il numero, rispettivamente, dei \(2\)-sottogruppi di Sylow, dei \(3\)-sottogruppi di Sylow e dei \(5\)-sottogruppi di Sylow. Tra tutte le possibilità l'unica in cui il normalizzatore potrebbe essere di cardinalità dispari è se \(P\) è un \(3\)-sottogruppo di Sylow e \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\). In tutti gli altri casi la cardinalità del normalizzatore di un \(p\) sottogruppi di Sylow qualsiasi con \(p \in \{2,3,5\}\) è pari. Ma non sono riuscito a trovare nessun argomento che mi facesse concludere che \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) sono effettivamente \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\), e dunque esiste \(P\) tale che il normalizzatore di \(P\) è di cardinalità dispari oppure che non sono \(n_3=40 \), \(n_2=5\) e \(n_5=1\) e quindi il normalizzatore di un \(p\) sottogruppi di Sylow è sempre di cardinalità pari.
Se non con la forza bruta, ma insomma sono \(120 \) permutazioni... e non ho avuto il tempo