da vict85 » 17/01/2020, 15:40
Ti consiglio di ripassarti la definizione di generatore. Non mi sembra che ti sia chiaro. Per esempio, \(1\) è un generatore di \((\mathbb{Z},+)\). Infatti ogni elemento può essere scritto come \(n = \pm 1 \pm 1\pm \dotsb \pm 1\)
Comunque, \(\mathbb{Z}_8 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]\}\) quindi \(8\) non può essere un generatore di \(\mathbb{Z}_8\). Tra l'altro, l'insieme \(\mathbb{Z}_8\) non è un gruppo con la moltiplicazione, perché? Lo sapresti motivare?
Supponiamo che intendessi \((\mathbb{Z}_8,+)\). In questo caso, \([1]\) ne è un generatore (stessa ragione che in \((\mathbb{Z},+)\)). In base alla teoria che dovresti aver studiato, pensi che ce ne siano altri?
Se invece volevi dire \(\mathbb{Z}^*_8 = \{[1], [3], [5], [7]\}\) allora l'insieme ha cardinalità \(4\) e non è ciclico. Infatti \([1]\) è elemento neutro e \([3]^2 = [5]^2 = [7]^2 = [1]\). Ti invito a fare i calcoli. Ogni coppia dell'insieme \(\{[3], [5], [7]\}\) genera tutto lo spazio, ma non mi metto a dimostrarlo perché si tratta solo di fare i vari prodotti.
2) In questo caso, hai azzeccato che [3] è generatore di \((\mathbb{Z}^*_4, \cdot)\), ma la tua spiegazione non ha senso. E la cardinalità di \(\mathbb{Z}^*_4\) non è 3 ma 2, infatti \(\mathbb{Z}^*_4 = \{[1], [3]\}\).