Elementi centrali.

Messaggioda Pasquale 90 » 10/02/2020, 17:27

Buonasera, se considero un'operazione interna $**$ in $ZZ$ definita $(x**y)=x^2+y-1$, risulta essere non commutativa in effetti per $x=0$ e $y=2$ risulta $0**2=1$ e $2**0=3$,pertanto non è commutativa. Invece per $x=1 $ e $y=0$ si ha $1**0=0=0**1$ cioè $1,0$ sono permutabili.

Ora se volessi determinare gli elementi centrali in $ZZ$, dove: $x in S$ dicesi centrale rispetto a $**$ se è permutabile con ogni elemento di $S$.
Nella fattispecie dovrebbe risultare $1**y=y**1, \\ forall in ZZ$ qualora $1$ fosse centrale, ma $1**y=y**1 <=> 1+y-1=y^2+1-1 <=> y=y^2$ questa è vera "ovviamente" solo per $y=1$, quindi $x=1$ non è centrale.
Vi chiedo in generale come si fa ?

Ciao
Pasquale 90
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 110 di 217
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24
Località: Salerno

Re: Elementi centrali.

Messaggioda arnett » 11/02/2020, 08:37

Nessun elemento di $\RR$ è centrale per quell'operazione. Per determinare se un elemento $x$ è centrale, devi imporre che valga $xy=yx$ per ogni possibile scelta di $y$. In questo caso non esistono tali $x$ (prova a imporre che commuti, per dire, sia con $y=1$ che con $y=-1$ e vedrai che ti viene un sistema impossibile).

In generale non so nemmeno se abbia senso però parlare di centro per strutture non associative (o magari ha senso ed è solo inutile).
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1320 di 1402
Iscritto il: 18/07/2018, 08:08

Re: Elementi centrali.

Messaggioda Pasquale 90 » 22/02/2020, 10:54

Buongiorno, scusami se rispondo solo ora ma sono stato un pò preso dagli esami. Comunqie grazie per la risposta.

arnett ha scritto: In generale non so nemmeno se abbia senso però parlare di centro per strutture non associative (o magari ha senso ed è solo inutile).

Sul libro non viene detto nulla di specifico anzi, si parla di una generica legge interna in un insieme $S$ cioè,

Sia $**$ una legge interna in $S$, siano $x,y in S$ si dicono permutabili se $x**y=y**x.$
Un elemento chiamasi centrale $$ se è permutabile con ogni elemento di $S.$

Qualche esempio, sia $**$ l'operazione binaria in $S={A : A in M_(n,n)(K)}$ tale che
$A**B=AB \ qquad forall A,B in S$
quindi si ha che la matrice identità $I_n$ di ordine $n$, è un elemento centrale per $S$, infatti si ha
$AI_n=I_nA, \qquad forall A in S.$
Un'altro esempio che è simili al precedente cioe, sia l'operzione binaria in $S^S$ tale che
$f**g=f circ g \ qquad forall f,g, in S^S$
quindi si ha che l'applicazione identità $Id.S$, è un elemento centrale per $S^S$, infatti si ha
$f circ Id.S=Id.S circ f, \qquad forall f in S^S.$


Comunque per le "classiche" operazioni non mi viene nulla, puoi fare qualche esempio tu ?


Ciao
Pasquale 90
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 119 di 217
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24
Località: Salerno

Re: Elementi centrali.

Messaggioda solaàl » 22/02/2020, 11:20

Il prodotto di matrici e la composizione di funzioni sono associative; la domanda era se la nozione di elemento centrale di un magma è di qualche interesse.

La divisione \(M_n(K)^\times \times M_n(K)^\times \to M_n(K)^\times : (x,y)\mapsto xy^{-1}\) non è associativa (prendo solo elementi invertibili per avere un'operazione interna, ovviamente gli invertibili sono le matrici di GL), così come non lo è l'esponenziazione (per esempio nei numeri naturali) \(\mathbb N\times \mathbb N \to \mathbb N : (m,n)\mapsto m^n\); il prodotto vettoriale in \(\mathbb R^3\) non è associativo; nemmeno la differenza insiemistica \(2^X \times 2^X \to 2^X\) (con alcune convenzioni ovvie se i due insiemi non si intersecano) lo è; la media binaria \((x,y)\mapsto \frac{x+y}{2}\) non è associativa...

Insomma, un po' di fantasia, e in assenza di quella, google.
Боже, тебе тоже нравятся фильмы Ардженто?
Держи мою руку в самых страшных моментах
Боже, тебе тоже.
Avatar utente
solaàl
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 235 di 465
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Elementi centrali.

Messaggioda arnett » 22/02/2020, 11:50

Qual è la domanda? Vuoi una struttura algebrica (se sì, di che tipo?) con centro non triviale?
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1329 di 1402
Iscritto il: 18/07/2018, 08:08

Re: Elementi centrali.

Messaggioda Pasquale 90 » 22/02/2020, 12:47

esempio di una legge interna in $S$ non commutativa, ma che abbia elementi centrali in $S$.
Pasquale 90
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 120 di 217
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24
Località: Salerno

Re: Elementi centrali.

Messaggioda arnett » 22/02/2020, 13:41

Prendi $Q_8=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\subset \mathbb{H}$ e prova a calcolare il centro. Questo è gruppo (quindi è una struttura più fine rispetto a quelle di solaàl).
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1330 di 1402
Iscritto il: 18/07/2018, 08:08

Re: Elementi centrali.

Messaggioda solaàl » 22/02/2020, 15:52

Non associativa. Il punto è l'utilità del centro di strutture non associative.
Боже, тебе тоже нравятся фильмы Ардженто?
Держи мою руку в самых страшных моментах
Боже, тебе тоже.
Avatar utente
solaàl
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 236 di 465
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Elementi centrali.

Messaggioda Pasquale 90 » 22/02/2020, 17:38

Si arnett, se per $Q_8$ intendi il gruppo dei quaternioni, il centro è ${-1,1}$ perchè si ha
$1a=a1 \ qquad forall a in Q_8$

$-1a=-a1 \ qquad forall a in Q_8$


dove per convenzione si ha "sempre se ti riferisci a tale gruppo"
$i^2=j^2=k^2=1$, $ij=k=-jk$, $jk=i=-kj$ e $ki=j=-ik$ per tale motivo è gruppo non abeliano ma ammette elementi centrali.

Comunque grazie mille arnett per il suggerimento. solaàl avevo chiesto un esempio di una generica legge interna non commutativa ma che abbia elementi centrali.
Pasquale 90
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 121 di 217
Iscritto il: 14/11/2019, 11:24
Località: Salerno


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 27 ospiti