Esercizio topologia di base

Messaggioda Overflow94 » 22/02/2020, 20:11

Let $\mathcal(T)_alpha$ be a family of topologies on $X$. Show that there is a unique smallest
topology on $X$ containing all the collections $\mathcal(T)_alpha$, and a unique largest
topology contained in all $\mathcal(T)_alpha$ .


L'esercizio proviene dal "Topology. Second Edition" di Munkres pag 83 es. 4b.

Per adesso non sono andato molto lontano, ho soltanto definito una base che genera una topologia che contiene l'unione di tutte le $\mathcal(T)_alpha$.

Chiamando $ J $ l'insieme degli indici definisco il prodotto cartesiano: $ prod_(alpha in J)^()\mathcal(T)_alpha $ . A partire dai sui elementi $ (X_alpha)_(alpha in J) $ definisco l'insieme:

$ B={\bigcap_(alpha in J)X_a | (X_alpha)_(alpha in J) in prod_(alpha in J)^()\mathcal(T)_alpha} $

$ B $ contiene $X$ e $ O/ $ in quanto sono contenuti da tutte le topologie. Se $ Y in \mathcal(T)_alpha $ allora $ Y in B $, infatti basta scegliere nel cartesiano $ X $ per tutte le altre componente e $ Y $ per la topologia a cui appartiene. $ B $ è chiuso rispetto all'intersezione infatti:

$ (\bigcap_(alpha in J)Z_a) nn (\bigcap_(alpha in J)Y_a)=(\bigcap_(alpha in J)(Z nn Y)_a) in B $

Ne segue che $ B $ è una base che genera una topologia, chiamiamola $\mathcal(M)$, che contiene tutti gli insiemi di tutte le topologie $ \mathcal(T)_alpha $ .

Ora vorrei provare a dimostrare che è anche la pià piccola nel senso che se esiste una topologia $M$ che contiene tutte le topologie $ \mathcal(T)_alpha $ e $M sub \mathcal(M) $ allora $ \mathcal(M) = M$ ma l'approccio che sto seguendo non mi sembra molto maneggievole.

EDIT: per i problemi legati all'intersezione di infiniti elementi dobbiamo porre la condizione ulteriore che la scelta di $ X_alpha $ possa essere diversa da $X$ solo per un numero finito di $ alpha $, quanto detto rimane valido.
Ultima modifica di Overflow94 il 23/02/2020, 09:58, modificato 3 volte in totale.
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda solaàl » 22/02/2020, 20:48

E' la solita maniera con cui si ottengono le strutture generate... l'insieme delle topologie su un insieme $X$ è un reticolo completo; la topologia discreta è il suo massimo, quella banale il suo minimo rispetto alla relazione di raffinamento (una topologia ne raffina un'altra se tutti gli aperti della seconda sono elementi della prima, e in tal caso la seconda è minore della prima).

Allora, se prendi una famiglia di topologie \(\{T_\alpha\}\) e fai la topologia generata dall'unione \(\bigcup_\alpha T_\alpha\) in \(2^{2^X}\) (non è una topologia in generale, se ce ne sono almeno due di non confrontabili), ecco la minima topologia che contiene tutte le $T_\alpha$; dualmente, fai l'intersezione e ti viene la massima topologia contenuta in tutte (l'intersezione di topologie è sempre una topologia https://proofwiki.org/wiki/Intersection ... s_Topology )
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda arnett » 22/02/2020, 21:06

Mi pare che quello che dici non aiuti molto. La definizione astratta è quella di solaàl: \[\bigvee_{\alpha \in J} \mathcal {T}_\alpha :=\bigcap \{\mathcal{T}\in \wp(\wp(X)): \mathcal{T} \text{ è topologia su }X, \mathcal{T} \supset \mathcal{T_\alpha} \quad \forall\alpha \in J\}.\]

Poi c'è il problema di identificarla: direi che questa si caratterizza come l'insieme delle unioni di elementi dell'unione delle basi di ogni \(\mathcal{T}_\alpha\). E sposterei il topic in geometria.
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda Overflow94 » 22/02/2020, 21:29

@solaàl: grazie per l'aiuto. C'è una cosa che non ho capito:

solaàl ha scritto:Allora, se prendi una famiglia di topologie \(\{T_\alpha\}\) e fai la topologia generata dall'unione \(\bigcup_\alpha T_\alpha\) in \(2^{2^X}\) (non è una topologia in generale, se ce ne sono almeno due di non confrontabili)


Stiamo assumendo che $ T_alpha $ sia una catena?

\(\bigcup_\alpha T_\alpha\), come hai detto subito dopo, in generale, non è la base di una topologia in quanto non è detto che rispetti la proprietà:

$ AA x in C_1 nn C_2 => EEC_3 sub C_1 nn C_2: x in C_3 $

O almeno credo, e mi sembra sia ciò a cui fai riferimento anche tu, quindi come possiamo parlare di topologia generata?
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda Overflow94 » 22/02/2020, 21:51

@arnett: concordo sulla definizione.Per quanto riguarda la caratterizzazione che hai fornito non sono sicuro che definisca una topologia.

Ero indeciso su dove aprire la discussione, alla fine ho scelto questa sezione perché la domanda mi sembrava più vicina alla logica e alla teoria degli insiemi che non all'analisi o alla geometria. Chiedo ai moderatori di spostare dove ritengono più opportuno.
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda Overflow94 » 22/02/2020, 22:26

arnett ha scritto:La definizione astratta è quella di solaàl: \[\bigvee_{\alpha \in J} \mathcal {T}_\alpha :=\bigcap \{\mathcal{T}\in \wp(\wp(X)): \mathcal{T} \text{ è topologia su }X, \mathcal{T} \supset \mathcal{T_\alpha} \quad \forall\alpha \in J\}.\]


Riprendendo la topologia $ \mathcal(M) $ generata dalla base $B$ definita nel primo post. Abbiamo che se $ A in \mathcal(M) $ allora $ A $ è ottenibile come unione di elementi della base $ B $, che a loro volta sono intersezioni di elementi appartenti ai vari $ T_\alpha $. Ne segue che $ A $ appartiene a qualsiasi topologia $T$ che contenga tutti gli elementi dei vari $ T_alpha $, in quanto $ T $ è chiuso rispetto a intersezione e unione. Quindi $ A in \bigvee_{\alpha \in J} T_\alpha $.

Abbiamo dimostrato che $ \mathcal(M) sub \bigvee_{\alpha \in J} T_\alpha $ .

L'altro verso dell'inclusione è banale in quanto $ \mathcal(M) $ contiene tutti gli elementi dei vari $ T_alpha $ perciò $ \bigvee_{\alpha \in J} T_\alpha sub \mathcal(M) $.

Abbiamo dimostrato che $ \mathcal(M) $ = $ \bigvee_{\alpha \in J} T_\alpha $ .

A questo punto però mi rendo conto che la richiesta non era di caratterizzare la topologia "minima" ma bensì di dimostrare che esiste unica...

Se non sbaglio di solito si dimostra che le cose tipo $ \bigvee_{\alpha \in J} T_\alpha $ esistono con il lemma di Zorn, quindi è possibile che l'esercizio richiedesse una valutazione molto più immediata.
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda arnett » 23/02/2020, 13:55

Ah mi sa che hai ragione sul fatto che quella è una base (prenderla come prebase forse?, non so): e infatti era solo un'ipotesi.
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Re: Esercizio topologia di base

Messaggioda Overflow94 » 23/02/2020, 16:23

@arnett: ok come prebase, adesso capisco che anche solaàl aveva fornito un esempio di prebase. Scusate se sono sembrato pignolo ma è dovuto a una scarsa padronanza dei concetti, non per mancanza di flessibilità :D
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