Insieme di classi di resto modulo e funzioni biettive

[Suwako27]

Salve ho una perplessità riguardante il seguente esercizio: "Dato l'insieme $ZZ_(11)$ delle classi di testi modulo $11$, verificare se la funzione $f:ZZ_(11) -> ZZ_(11)$, definita da $f([n])=[n^3]$ sia una funzione biiettiva.”
Ora, ovviamente so cosa sono le classi di resto modulo e la definizione di funzione biiettiva, ma mi lascia qualche dubbio quello che definisce la funzione: $[n]$ sarebbe la classe dell'intero $n$ modulo $11$. Ad esempio $[14]=[3]=\{3+11k|k in ZZ \}=\{...,-19,-8,3,14,25,...\}$. Non saprei come verificare la biettività.

[gugo82]

Bene, vediamo… Sapresti calcolare $f(bar(0))$, $ f(bar(3))$, $f(bar(7))$?¹
Ed il resto delle immagini?
E puoi usare questi calcoli per verificare che $f$ è biiettiva?

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Note

1. Come d’abitudine, per non sprecare parentesi, denoto con $bar(n)$ quello che tu denoti con $[n]$, cioè la classe di equivalenza di $n$ modulo $11$. ↑

[Suwako27]

Si mi scuso per aver scritto male, ma dal cellulare veniva scomodo; la prossima volta farò meglio. Allora il mio problema è che essendo la prima volta che vedo funzioni con le classi di resto, non so effettivamente come applicare la definizione.

[gugo82]

Beh, che ci vuole?

$f(bar(0)) = bar(0^3) = bar(0)$, $f(bar(3)) = bar(3^3) = bar(27) =…$

[Suwako27]

Beh fare questo era banale, infatti, sostituendo ad n 3 nella formula, si ottiene 27 che è uguale alla classe di 5, e così lo posso fare per tutti i numeri delle classi di resto del modulo di 11. Il punto è quali altre considerazioni posso fare per avere la conferma della biettività oppure no.

[gugo82]

Beh, ma se era tanto banale, come mai ho dovuto suggerirlo?

Visto che sono davvero pochini gli esercizi che puoi risolvere per ispezione esplicita, dovresti essere contento che non servano considerazioni più complesse.

[Suwako27]

...beh grazie, calcolare l'immagine non era l'obiettivo dell'esercizio. Quello che invece mi piacerebbe capire ,dato che non ho trovato niente a riguardo,è come si lega il concetto di funzione biettiva a qualcosa come le classi di resto; non ho mica chiesto di farmi fare l'esercizio...

[gugo82]

...beh grazie, calcolare l'immagine non era l'obiettivo dell'esercizio.

Certo, l'obiettivo è mostrare che una certa funzione (definita su di un insieme con pochi elementi) è biiettiva.
Il modo più semplice per farlo è calcolare le immagini e constatare che esse sono tutte distinte (funzione iniettiva) e coprono tutto il codominio (funzione suriettiva).

Quello che invece mi piacerebbe capire ,dato che non ho trovato niente a riguardo,è come si lega il concetto di funzione biettiva a qualcosa come le classi di resto

Che vuol dire?

non ho mica chiesto di farmi fare l'esercizio...

Infatti non te l'ho svolto, ma mi sono limitato a suggerire un modo per risolvere il tuo dubbio, come tu stesso chiedevi:

Salve ho una perplessità riguardante il seguente esercizio: "Dato l'insieme $ZZ_(11)$ delle classi di testi modulo $11$, verificare se la funzione $f:ZZ_(11) -> ZZ_(11)$, definita da $f([n])=[n^3]$ sia una funzione biiettiva.” [...]
Non saprei come verificare la biettività.

Quindi, se la domanda era in realtà un'altra, cerca di scrivere in modo da farla capire agli altri ed evita di prendertela con chi risponde.
Grazie.

[solaàl]

Stai chiedendo quali funzioni \(\mathbb Z \to \mathbb Z/n\mathbb Z\) inducono una biiezione (cioè un omomorfismo iniettivo e suriettivo) passando al quoziente; inizia dall'inizio, come fa Alice col re: il primo teorema di isomorfismo ti dà una condizione necessaria (e sufficiente) per scendere al quoziente. Ora, a certe condizioni la mappa indotta sul quoziente è suriettiva; quelle condizioni la rendono anche iniettiva, che magia è mai questa?

La magia è quel vecchio adagio, che se ti spiegassero il giorno 1 di matematica la vita sarebbe molto meno amara: una endofunzione di un insieme $X$, finito, è biiettiva sse è iniettiva, sse è suriettiva.

[Suwako27]

Ma io avevo scritto che avevo dei dubbi su come verificare la biettività e che non ci fosse qualcosa di diverso rispetto alle classiche funzioni,ma da quello che hai detto pare essere qualcosa di ordinario.