$5^x -3^y =2$

[digi88]

mi permetto di rispondere io anke se la soluzione (purtroppo ) non è mia(spero Tom non si arrabbi..)....credo che abbia usato il fatto ke le potenze di a mod(m) sono periodiche con periodo = $ord_m(a)$ (ordine moltipliactivo di a modulo m), ma dato che $ord_m(a)|\varphi(m)$ le potenze sono anke periodiche con periodo $\varphi(m)$ ....io personalmente il fatto che $5^5\equiv 2 mod(9)$ lo faccio a mano...

comunque a mio avviso la periodicità delle potenze è una delle proprietà più utili....

[Steven]

io propongo di scrivere l'equazione nella forma $5^x-5=3^y-3$ e di usare Eulero-Fermat a destra e sinistra. Mi piacerebbe poterci provare io, ma sono impegnato

Ripesco questo vecchio topic.
Mi chiedevo: come sarebbe il procedimento se seguissimo il suggerimento di ficus2002 ?
Grazie.

[Lord K]

Prima parte, con alcune osservazioni)

$5^x-3^y=2$

Una soluzione ovvia é $(x,y)=(1,1)$ e d'ora in poi non la consideriamo poi posso considerare:

$5(5^(x-1)-1)=3(3^(y-1)-1)$

Da cui devono valere:

${(5^(x-1)-1\equiv0(3)),(3^(y-1)-1\equiv0(5)):}$

Mi occupo della prima:

$5^(x-1)\equiv1(3)$

ricordo che $phi(3)=2$ allora:

$x-1=phi(3)q_0+r_0$ con $r_0 in {0,1}$

Allora:

$5^(phi(3)q_0+r_0)\equiv1(3)$
$(5^(phi(3)))^(q_0)*5^(r_0)\equiv5^(r_0)\equiv1(3)$

e quindi vale solo per $x-1=0(2)$ da cui $x\equiv1(2)$ ovvero dispari.

Per la seconda equazione:

$3^(y-1)\equiv1(5)$

ed analogamente qui ho $phi(5)=4$ e proseguo con:

$y-1=phi(5)q_1+r_1$ con $r_1 in {0,1,2,3}$

$3^(r_1)\equiv1(5)$

che sostituendo brutalmente ottengo che ha soluzione solo se $y\equiv1(4)$

[Lord K]

Seconda parte ovvero la soluzione)

Osserviamo la seguente identità: sia $x>=y$:

$5^x-3^y=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$

(si fa similmente se $y>x$)

$sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k >=1$

e vale l'uguaglianza solo se $y=1$ ed anche:

$3^y(5^(x-y)-1)>=0$

e vale l'uguaglianza solo se $y=x$. La nostra equazione è quindi:

$2=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$

Che ha come unica soluzione $x=y=1$.

P.S. le osservazioni precedenti non sono servite, ma per risolvere questi problemi io valuto prima le osservazioni